Прежде чем расстаться с этим автором, заметим еще, что он знал также следующую планиметрическую теорему: всякая точка окружности круга, катящегося внутри круга с двойным радиусом, описывает диаметр этого второго круга. Различные тригонометрические исследования, как необходимые для составления таблиц, так и нужные для решения треугольников, требовали известных тригонометрических преобразований и решения известных уравнений. Мы намекнули выше на одно из них, бывшее известным уже Птоломею, но мы можем привести еще преобразование, выражаемое в настоящее время формулой: cos д cos а = * cos (ф — а) + cos (р +, которой пользуются, чтобы сделать логарифмической сумму двух косинусов. В те времена ею пользовались, наоборот, для замены слишком трудного действия умножения операцией сложения, а впоследствии приложение ее обобщили в Европе в том же духе. Однако ни эти формулы, ни формулы, служившие для решения треугольников, не выражались посредством символов. Даже у арабов вся вообще математика продолжала еще облекаться в геометрическую форму; тем более это относилось к задачам, имевшим дело с величинами геометрического происхождения. Впрочем, это не представляло таких трудностей, как это может казаться нам, избалованным употреблением формул. В этом легко убедиться хотя бы по прилагаемому рисунку (фиг. 30), которым пользовался в X в. египетский астроном ибн Джунос (Ibn Jounos) в своих так называемых гакимшпских астрономических таблицах для доказательства вышеприведенной формулы о произведении косинусов. Как и в рассмотренной выше "Аналемме" Птолемея, чертеж берется в плоскости меридиана: НН' — линия пересечения с горизонтом, ЕЕ'- с экватором, SS'- с плоскостью, в которой движется в течение одного дня светило, Z есть зенит, Z'-надир, Р — полюс мира. Н'Р = ZE = Z'E' = ç дает высоту полюса, а ES = E'S' = ô — склонение светила, ZS = p — ô и Z'S' = p + ô. В таком случае проекция SS' на вертикаль ZZ' будет: COS^Op -?) + cos* (g + â). Но так как SB = cos ô, a SB образует с вертикалью угол 90, то проекция эта, с другой стороны, равна 2 cos â cos д. Для удобства современного читателя мы приняли радиус круга равным единице.