применений положение. Исследователи стали заниматься изучением плоских и сферических треугольников самих по себе. Большое значение приобрели теперь различные решения задач на определение по трем элементам треугольника (сторонам и углам) остальных элементов его. Одним из первых шагов в этом направлении было установление теоремы о пропорциональности в сферическом треугольнике синусов сторон синусам противолежащих углов, теоремы, автором которой был, может быть, Абуль Вафа или один из его современников. Общий итог работ арабов в этом направлении дан нам в одном сочинении Кассир Эддина по плоской и сферической тригонометрии, ставшим известным в Европе по французскому переводу только в последнее время. Его название: "Трактат о четыреугольнике" объясняется тем, что исходным пунктом всего труда является полный четыреугольник Менелая. Для нас нет интереса останавливаться на вопросах плоской тригонометрии, а также на способах решения множества главных задач сферической тригонометрии. Так, вышецитированная теорема о синусах выводится в общем случае легко из частного случая прямоугольного треугольника: для этого надо треугольник разделить на два прямоугольных треугольника. Поэтому мы ограничимся лишь тем, что покажем, как Кассир Эддин решает некоторые более трудные задачи. В сферическом треугольнике ABC (фиг. 29, где угол В уже не является прямым), стороны a, b и с которого даны, он определяет угол А следующим образом: он продолжает АВ и АС до AF = 90° и АЕ = 90°, потом он проводит полный четыреугольник ABCDEF; тогда теорема Менелая или же правило четырех величии дают: sin BD sin BF cos с sin CD sin CE cosô Так как, кроме того, известна разность а дуг BD и CD, то посредством правила, бывшего известным уже Птоломею (стр. 157), можно вычислить эти дуги. Имея это, знают гипотенузы и по одной стороне в каждом из обоих прямоугольных треугольников DBF и DCE, что дает возможность определить DF и DEt а также и их разность, т.е. угол А. Но еще более замечателен способ, каким Кассир Эддин определяет по трем углам стороны: задачу эту он решает, как и мы в настоящее время, приведя ее к предыдущей посредством построения полярного или дополнительного к данному треугольника, т.е. треугольника, стороны которого имеют полюсами вершины данного треугольника. Как известно, в этом случае каждая вершина одного треугольника есть полюс некоторой стороны другого, а углы первого являются дополнениями сторон другого. Труд Кассир Эддина доказывает, что теорема эта, впоследствии вновь найденная европейцами, была впервые открыта арабами.