Начнем с приема, который отличается о г. приема Диофанта, но благодаря которому индусы умели получать неограниченное число рациональных релений; для этого составим сперва уравнения: а*и2+&и = Уйа. — VA (3) ах22 + bo = y, где для определения Ьг и 62 берут произвольные х у х2 и у2. Если мы решим эти уравнения относительно Ь± и Ь2) то произведение этих двух количеств можно написать в виде: (аххх2 +. УиУ2)2 — а (хгу2 + x2yl}2 = bxb2. Это дает нам третье уравнение axJ+ bz = y3\ где I (4) b.d= bxb2t xs = x1y2 + x2ylt уг=ах1х2+у1у2. J Тождественно приравнивая оба уравнения (3), получаем: а (2х1у1)2 + Ь2 = (ах12 + у12)2 лли а (у + и^(^±жу. (5) Таким образом мы имеем рациональное решение уравнения (2); если продолжать подставлять произвольные значения на место хи и У то нередко удается получать целочисленные значения х и у. Следует, в частности, отметить случаи, когда удается получить уже, что b = ± 1 или +2. Если й = 1, то можно, поступая таким образом, получить из одного какого-нибудь решения уравнения (2) новое решение и затем сколько угодно решений; если Ь = — 1 или +2, то (5) дает, в свою очередь, целочисленное решение уравнения (2), ибо из у12 = ах12 + 2 можно вывести, что ах, + у±2 = 2ахг2 + 2, т.е. равно четному числу. В то же время знание одного решения (2) дает возможность благодаря (4) получить из одного решения (1) неограниченное количество решений. Если, однако, для некоторого данного значения а последовательные пробы не приводят к уравнению вида (1), для которого b равно + 1 или+ 2, то прибегают к так называемому циклическому методу для приведения значения ft. Пусть, например, дано уравнение: ахг2+ йх-уЛ в котором b уже настолько мало, насколько этого удалось добиться с помощью проб, заключающихся, скажем, в том, чтобы приписать — приближенное значение \fa; хг и Ь± в этом случае первые между собой, ибо, имей они общего множителя, такой множитель был бы на обеих сторонах заданного уравнения квад