бы мы в настоящее время при изложении теории бесконечного, ибо это равнозначуще было бы попытке объяснить понятия той же природы, что и бесконечно-малое (infinitésimale) приближение, а следовательно, равнозначуще допущению таких понятий, на что они не могли пойти. Все они — как Евклид, так после нег о Архимед — довольствуются тем, что повторяют одни и те же приемы доказательства всякий раз, когда в этом представится необходимость ѴЧ \ X \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ / N \ ХЛ / N \ X S И А п Фиг. 14. Уже в теореме 5, в которой доказывается, что объемы треугольных пирамид с одинаковой высотой пропорциональны площадям их оснований, Евклид находит повод повторить названное доказательство, доказав предварительно в теоремах 3 и 4, что необходимые для применения его гипотезы действительно существуют. Он поступает тут следующим А образом: с помощью плоскостей EFG, EGIH и ЕНК, проходящих через середины 3 или 4 ребер, он разлагает (фиг. 14) треугольную пирамиду на две подобные ей, но с половинными размерами пирамиды и на две равные между собой призмы; у каждой призмы та же высота и та же площадь основания, что у одной из малых пирамид, как это доказывается на основании теорем предшествующей книги. Если разделить теперь каждую из малых пирамид тем же самым способом и продолжить, таким образом, дальше, то в качестве приближенных значений объема пирамиды мы Цолучим сумму объемов двух первых призм, 4 следующих, 8 следующих и т. д. Нетрудно заметить при переходе к каждому дальнейшему приближению, что отнимаемые у пирамиды призмы — больше половины: действительно, обе малые пирамиды, получающиеся при делении первоначальной пирамиды, меньше обеих призм, ибо их можно расположить так, что они будут составлять лишь части последних. Если теперь мы имеем две пирамиды А и В одинаковой высоты и если принять за приближенные значения объемов этих пирамид суммы объемов призм А и В, полученных на одинаковой ступени деления первоначальных двух пирамид, то остается лишь (4) доказать, что А: В' равно отношению между площадями оснований (F и G). Обозначим для обеих пирамид суммы двух первых призм через и± и ѵѵ суммы четырех призм, получившихся на следующей стадии деления, — через а2 и ѵ2, суммы