того же вида. На языке нашей современной символики теорему эту можно выразить следующим образом: lim а, р, у,.. = О, если а, /?, у,.. ^ 1 Рассмотрим доказательство путем исчерпывания в его первом приложении у Евклида (XII, 2), который им пользуется для установления того, что площади двух кругов пропорциональны квадратам их диаметров. В предшествующей этому теореме 1 доказывается, что площади подобных вписанных многоугольников пропорциональны квадратам диаметров соответствующих окружностей; довольствуясь краткой формулировкой, мы можем сказать, что доказательство теоремы 2 основывается на рассмотрении окружностей, как пределов этих многоугольников. Правомерность этого перехода к пределу обеспечивается доказательством путем исчерпывания, а применение для этого X, 1 (имеющее место лишь в самом доказательстве) имеет целью показать в этом случае, что в окружность можно вписать многоугольник с таким числом сторон, что разность между ним и кругом может быть сделана меньше любого заданного предела; действительно, при удвоении числа сторон многоугольника мы получаем вписанные в сегменты круга треугольники; треугольники эти, дающие названную разность, равны половине прямоугольников, объемлющих эти сегменты, и, следовательно, сами больше половины сегментов. Теперь, чтобы доказать, что если А и В — круги, а а и b их радиусы, то: А: В = а2: Ь\ допускают, что: я2: Ъ2 = А: С и для проверки возможности того, что С В, вписывают в А и В правильные подобные многоугольники А, В, с числом сторон, достаточно большим, чтобы В — В' В — С, т.е. чтобы В' С. В таком случае мы должны иметь: а2: Ь2 = А: С = А': Вл но это невозможно, ибо но С ^Вл случай, когда С В, сводится к предыдущему, ибо из С В можно вывести, что Ъ2: а* = С: А = В: D, где: £ А Ясно, что если переменные величины А' и В' имеют предельные значения А и В и если отношение А: В' обладает постоянным значением, то тот же самый прием можно всегда применить для доказательства того, что отношение А: В обладает тем же значением; в частности, если А' = В, то А = В. Однако древние не устанавливают раз навсегда этого положения, как это сделали