следующих 8 призм — через и3 и vz и т. д., тогда мы получим искомый результат, если докажем, что F: G = и±: ѵ1 = и2: ѵ2 = и3: ѵ3 =... Л': В7 и доказательство путем исчерпывания дает тогда (в 5): A: B = F: G. Значение употребленного здесь приема выступает особенно отчетливо, если обратить внимание на то, что теорема 3 содержит условия, обеспечивающие согласно X, 1 то, что А = их + Uo + иг +...и т. д. ad infinitum. Это соображение вызывает желание исследовать более тщательным образом рассматриваемый сходящийся ряд. Нетрудно заметить (как это делает отчасти и сам Евклид в XII, 4), что каждая из двух равных призм, сумма которых равна иѵ подобна двум из 4 равных призм в z/2 и т. д., откуда следует: 1 1 4иѵ иг= 4и2. или же А = иг 4 1 3 1 3 0 где и0 обозначает призму, имеющую ту же высоту и ту же площадь основания, что и пирамида Р. Нетрудно, впрочем, подтвердить правильность этого вывода с помощью доказательства путем исчерпывания. Евклид, правда, не пользуется этим способом. Если, тем не менее, мы сочли необходимым привести его здесь, где мы желаем познакомиться с методами не только Евклида, но вообще древних математиков, то потому, что (как мы покажем вскоре) Архимед действительно пользуется абсолютно тем же самым методом суммирования бесконечного ряда для определения площади параболического сегмента. Вместо этого суммирования Евклид для вычисления объема треугольной пирамиды прибегает в теореме 7 к известному разделению треугольной призмы на три пирамиды. Мы считаем лишним останавливаться на переходе к пирамидам с многоугольным основанием, а также на переходе от призм и пирамид к цилиндрам и конусам, — переходе, совершаемом, разумеется, с помощью доказательства путем исчерпывания. Но приводимое в теореме 18 доказательство, что объемы шаров пропорциональны кубам радиусов, представляет большие трудности, ибо здесь невозможно составить столь простые приближенные значения, как в случае площади круга. Поэтому Евклид, прежде чем дать это доказательство, решает предварительно следующую задачу (17): вписать в данный шар многогранник, объемлющий целиком другой, концентрический и меньший