должно получиться также, что Таким же путем можно доказать предложение 23, исходя из 21: а: ft = е: / и ft: c = d: e влекут за собой а: с = d: /. Из этих предложений следует, что отношение а: с составлено из отношений а: b и 6: с; но если рассматривать отношение древних, как современное число, то ясно, что отношение, составленное из двух отношений, представляет то же самое, что теперь называют пржзведением. И хотя составляемые отношения должны иметь определенные формы, ибо последующий член одного равняется предыдущему числу другого, но это не является вовсе ограничением для составления отношений. Действительно, из геометрического представления отношений в книге VI, 12 следует, что всякое отношение можно преобразовать таким образом, чтобы один из его обоих членов имел данную величину. В книге VI, 23, где доказывается, что отношение между двумя параллелограмами, имеющими равные углы, составляется из отношений между сторонами их, видно также, что последним придают форму а: ft и ô: ст чтобы можно было их составить. Теоремы 22 и 23 книги V, взятые вместе с этим заимствованием из книги VI, содержат полные доказательства предложений, которые в современной формулировке гласят следующее: произведение определяется своими сомножителями, причем порядок последних не играет никакой роли. Таким образом древние обладали двумя различными способами представления того, что теперь — независимо от вопроса о рациональности или иррациональности сомножителей — называют их произведением: во-первых, только что изложенным нами способом и, во-вторых, представлением с помощью прямоугольников, которым пользовались в геометрической алгебре. Но, по существу, оба эти способа представления выражают одну и ту же вещь, как это видно из вышеприведенной теоремы 23 книги VI. Хотя представление путем сложных отношений более громоздко, но оно обладает одним существенным преимуществом: в то время как в геометрической алгебре речь идет обыкновенно лишь о произведениях двух сомножителей, изображаемых с помощью прямоугольников, а для изображения произведений трех сомножителей нужно обратиться к пространству и взять для этого параллелепипеды,—с помощью сложного отношения сомножителей можно представить произведение произвольного числа их. Действительно, если придать сомножителям вид: а: ô, Ь: Су с: d, d: е,