дущими предложениями. В предложении 17 из данной пропорции выводят, что для всех значений шил, вытекает из откуда следует, что влечет за собой тс = (т + n)d та = (т + ги)Ь\ т{а-Ь)ЩпЬ m (c — d) = nd. Предложения 18 и 19 получаются (первое способом от противного) из 16 и 17. Но одно из преобразований пропорции все-таки отсутствует, именно b: а = d: с. Однако, так как оно явным образом употребляется при доказательстве предложения 20, то его искали в одном добавлении к предложению 7. Но это неверно, ибо в предложении 7 разбирается лишь случай, когда b = d\ поэтому некоторые издатели относят это добавление к предложению 4. Но это не имеет особенного значения, ибо рассматриваемое преобразование вытекает непосредственным образом из определения 5. Предложения 20-23 содержат в себе важную теорию сложных отношений. Согласно 22, если a: b = d: e и если b: с = е: /, то а: с = d:/. Для доказательства, в предложении 20 предварительно устанавливается, что, согласно гипотезам, условие аЩс (откуда, по 8, следует, что d: е = а: b = с: b = /: е) влечет за собой, на основании 9 и 10, d = /. Теперь, так как данные пропорции можно, согласно 4, преобразовать в та: nb = md: ne и nb: рс = ne: р/, то из та = рс