то сложным отношением этих сомножителей будет, как определенно говорится в теореме 22, а: е. Впрочем, в преобразовании задачи удвоения куба путем нахождения двух средних пропорциональных мы уже имели пример того, как греки пользовались общим образом сложными отношениями: так, непрерывная пропорция а: х = х: у = у: Ь, выражает у древних абсолютно то же самое, что мы написали бы в виде а /а у b / х\з b \х/ ИЛИ а \а/ Аналогичным образом можно представить еще более высокие степени при помощи первого и последнего членов непрерывной пропорции, т.е. такой пропорции, члены которой образуют геометрическую прогрессию. Уже во времена Евклида в этом отношении было известно больше, чем об этом говорится в пятой книге "Начал". Это видна в особенности из предложения IX, 35, где Евклид определяет сумму членов геометрической прогрессии; содержание этой теоремы можно выразить на языке наших символов следующим образом: если abc b — а с— b d — с d — а a b с а + b + с Но теорема эта относится не только к сумме трех последовательных членов прогрессии, — случаю, которым ограничивается Евклид в своем доказательстве. Так как последнее опирается лишь на теоремы пятой книги, то оно носит всеобщий характер; но Евклид останавливается на нем на минутку лишь потому, что в следующей теореме, относящейся к теории чисел, ему придется применять его к предложению: 1 + 2 + 22+.... +2n=2n+l — 1. На этот способ представления произведений и степеней мы должны обратить тем большее внимание, что он вплоть до нового времени оставался основой алгебраических исследований, не ограничивающихся рациональными числами, а претендующих на всеобщность. Теорема V, 24 гласит, что если а: с = d: / и b: c = e: f, то отсюда следует, что (a + b): c = (d + e): f.