Если а: b = *: d и с: d = е: /, то a: b = e: f, (11) а с этими равными отношениями можно образовать такое же равное новое, именно: (a + c + e): (b + d + f); (12) но если a: b = c: d и c: d é?:/t то a: b e: f. (13) Чтобы дать образец доказательства у Евклида, рассмотрим предложение 8, в котором, если я &, требуется определить два таких целых числа тип, что ma^ nc^ mb; для этого надо заменить названное требование следующими условиями, имеющими место, согласно определению 4: mb c и т (а- ô) c, («-l)c m& nc; откуда следует, что Предложения 9 и 10, являющиеся обратными по отношению к 7 и 8, могут быть доказаны способом от противного. В предложении 14 с помощью предыдущих предложений доказывают, что если а: b = с: d, ^ го а~с влечет за собой & = В предложении 15 с помощью 12 доказывают, что та: mb = а: ft. Предложения 16-19 содержат ряд преобразований пропорции a: b = c: d; из нее получают: а: с = b: dt (16) (a — b): b = (c-d): d, (17) (a + ft): b = (c+d): d, (18) a: ft = (a -с): (й -d). (19) Предложения 16 и 17 доказываются с помощью определения 5; кроме того, для предложения 16 пользуются еще обоими преды