если при наличии ma^ynb имеем также mc^nd. Определение 7 гласит, что а: b с: d, если существуют такие значения тип, что ma nb, но mc nd. Правда, в определении 5 не употреблено слово равный для обоих отношений, но так как в дальнейшем, в теоремах 11 и 13, доказывается, что a: b = c: d и cd^ e: f влекут за собой a: b^e: fy то ясно, что дело идет именно о равенстве. Смысл этих определений величины какого-нибудь отношения становится ясным, если принять во внимание, что они, по существу, тождественны с современным определ нием простого иррационального числа посредством приближенных рациональных значений. Во-первых, чистое число есть отношение некоторой величины к единице того же вида, во-вторых, сравнения Евклида приводят, действительно, к сравнениям между отношениями и рациональными приближенными значениями —. m Посмотрим теперь, как можно основать на этих определениях точную теорию отношений и пропорций. В предложениях 1-3 и 5-6 Евклид устанавливает, прежде всего, следующие леммы: ma + mb = m (a±b)) (1 и 5) та-\1па = (т±п)а (2 и 6) п-та = пта. (3) Правда, последние три предложения мы передаем несколько вольным образом, ибо в предложении 2, например, говорится, что та + па такое же кратное а, как mb + nb кратное Ь, но доказательства, происходящие путем разложения целых чисел на их единицы, а также и приложения вполне согласуются с тем смыслом, какой мы здесь указываем. Благодаря этим леммам и определению 4 нижеследующие предложения оказываются простыми следствиямиопределений5и7: если a: b = с: d, то ma: nb = mc: nd; (4) если а Ь, то а: суЬ: с, (7 и 8) но с: я с: Ь.