столь же прямым способом, каким приложения площадей передают уравнения (1) и (2). Чтобы получить на языке нашей алгебраической символики уравнение (2) или уравнение (3), нам достаточно переписать положение "Начал" (II, 6) по-современному, положив BD = хили AD == х. Таким образом древние, как мы видим, рассмотрели все виды уравнения второй степени, дающие положительные корни, а о других у них не могло быть и речи, поскольку им было совершенно чуждо представление об отрицательных количествах. Для данного нами здесь геометрического решения мы предположили, что известный член — являющийся из соображений однородности всегда площадью — задан в виде квадрата; в таком случае решение получается с помощью так называемой пифагоровой теоремы. Теорема эта — частные случаи которой, несомненно, были известны египтянам — приписывалась Пифагору, но мы ничего не знаем о способе, каким он доказал ее. Возможно, что в своем доказательстве он опирался на подобие треугольников. В таком случае, при тогдашнем состоянии теории пропорций, она могла быть точной лишь тогда, когда стороны были соизмеримы; действительно, лишь в это время начали вводить геомеирические построения общего характера, и именно Евклид, как нам эго определенно сообщают, был, повидимому, подлинным автором общего доказательства, приводимого в книге I, 47 "Начал". Так как Евклид доказывает, что квадрат, построенный на одном катете, равен прямоугольнику (т. е. произведению) из проекции этого катета на гипотенузу и всей гипотенузы, то весьма вероятно, что в старом доказательстве, которое он желал заменить своим, пользовались соответствующими теоремами о средних пропорциональных. Впрочем, для доказательства можно было воспользоваться также операциями, служившими для решения уравнений. Из фиг. 3 ясно, что: я»+ b2 = (a + b)2 — 2aby разности, равной квадрату гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами а и Ь: это можно показать, построив при четырех углах квадрата (а + b)2 такого рода треугольники, причем остается квадрат посредине. Может быть, свидетельством всеобщего употребления этого доказательства является то, что Сократ (в платоновском диалоге Менон) поступает именно так, чтобы убедить раба Менона в истинности этой теоремы для частного случая а = Ь\ но по сравнению со столь простым доказательством даваемое Эвклидом доказательство не являлось бы вовсе шагом вперед. Возможность такого объяснения показывает, что насчет ранних методов доказательства у нас нет никакик надежных свидетельств, которыми мы могли бы руководствоваться в своих изысканиях.