Что касается преобразования какой-нибудь фигуры в квадрат, преобразования, которым должны были пользоваться либо для того, чтобы придать уравнениям приведенную нами выше форму, либо чтобы построить, не прибегая к пифагоровой теореме, величину, представляемую в современном решении квадратным корнем, то пифагорейцам определенным образом приписывают знакомство с следующей задачей: Построить фигуру, равновеликую данной фигуре и подобную другой фигуре. Во всяком случае, речь здесь могла итти только о прямолинейных фигурах, а в интересующем нас частном случае вторая фигура это квадрат; более общая форма задачи имеется в "Началах" (VI, 25), где Евклид пользуется ею для своих обобщенных приложений площадей. Один позднейший автор, приписавший пифагорейцам знакомство с задачей в этом последнем виде, хотел этим дать понять, что пифагорейцы обладали предпосылками, необходимыми для приложения площадей; но простое приложение площадей требует лишь преобразования фигуры в квадрат. Преобразование прямолинейной фигуры в прямоугольник не представляет особенных трудностей; Евклид, кроме того, показывает нам, как можно преобразовать прямоугольник в квадрат, не прибегая к средним пропорциональным и не опираясь на теорию пропорций, бывшую еще несовершенной до Эвдокса. В своей книге II, 14 он пользуется для этого лишь геометрической алгеброй; действительно, построение основывается на вышеупомянутой теореме II, 5 (или 6), согласно которой прямоугольник можно представить как разность двух квадратов. Сторона квадрата, равного прямоугольнику, получается затем с помощью пифагоровой теоремы. Это преобразование соответствует уравнению и оно содержит решение чистого квадратного уравнения. Пифагорейцам приписывают определенное геометрическое употребление приложения площадей, именно, построение правильного пятиугольника (или десятиугольника). Как известно, построение это зависит от уравнения х2=а (а—х), которое преобразуется в а2 = х2 + ах, а это уравнение можно решить путем гиперболического приложения площадей. Для решения названной задачи Евклид (II, 11) пользуется в точности этим же самым преобразованием уравнения в геометрической форме. Теоремы II, 5 и 6, служат не только для решения уравнений второй степени; так, мы уже упоминали выше об арифметическом приложении их Эвклидом в десятой книге "Начал", и мы уже сказали, что с их помощью можно обойтись без сродни