с данной площадью (но, чтобы иметь возможность применить пифагорову теорему, нам надо предположить на время, что площадь эта дана нам в виде квадрата б2). Эвклидовы "Data" (§ 85 показывают нам, что древние знали рассматриваемую задачу также и в этом виде, являющемся геометрической формулировкой следующей задачи: найти два количества, сумма и произведение которых известны. Вышеуказанный нами первый способ представления рассматриваемой задачи в виде эллиптического приложения площади имел то неудобство, что, пользуясь им, древние давали обыкновенно лишь одно решение уравнения (1); неудобство это отпадало теперь при втором способе представления ее. В книге II, 6, "Начал" Евклид дает абсолютно такое же (содержащееся в VI, 29) решение уравнения ах + х2 = б2, (2) которое древние выражали следующим образом: на данном отрезке АВ (= а) построить прямоугольник AM, равный данному квадрату (ft2), таким образом, чтобы избыточная (над прямоугольником ах на АВ) часть площади ВМ была квадратом (Ь2). Это построение называется гиперболическим приложением площади, от U7isp/Mr] — избыток. Приняв С за середину АВ, мы, решив задачу, видим, что прямоугольник AM изменяется в гномон, если перенести прямоугольник, построенный на АС, в положение GM. Тогда, взяв D на продолжении АВ, находим, что: / / / / / к / ✓ / / / / / / ✓ AD BD = CD2 — С В2. А С В D Это геометрическое преобразование в точности соответствует алL = ] ^-\^ гебраическому преобразованию, с помощью которого мы в настоящее время решаем уравнение (2), именно: затем с помощью пифагоровой те- фйг# $л оремы определяют а Из теоремы "Начал" (II, 6) непосредственно вытекает решение этой задачи в нижеследующем другом виде: определить два отрезка (AD и BD\ разность и прямоугольник которых (равный квадрату Ь2) даны; задача эта представляет, в свою очередь, лишь геометрическую форму следующей задачи: определить два количества, зная их разность и произведение; и так как задача эта встречается также в этом втором виде у древних (эвклидовские „Daiar\84), то не имеет никакого значения тот факт, что мы не встречаем у них никакой формы для передачи уравнения х2 — ах=Ь2 (3)