вопроса о пользовании задолго до Евклида теоремами этой II книги (ибо, как утверждают, пифагорейцы были знакомы с приложением площадей), то объяснение этого следует искать в VI книге, хотя в ней применения названных теорем даны в обобщенном виде, являющемся открытием либо Евклида, либо его непосредственных предшественников *. Прямоугольник, стороны которого являются сами суммами, представляет сумму всех прямоугольников, имеющих сторонами один член каждой из данных сумм. Вместо современной формулы (а+ b)2=a2+ b2 + 2ab Евклид (II, 4) пользовался фиг. 3. Задача, которую в настоящее время мы выразили бы уравнением ах — х2= b2 (1) выражалась древними следующим образом (фиг. 4): Построить на данном отрезке АВ (= а) прямоугольник AM, равный данному квадрату (Ь2), таким образом, чтобы часть площади, недостающей до прямоугольника ах на АВ, была квадратом (ВМ=х2). Для получения этого построения, называемого эллиптическим приложением площадей — от слова Шгигрис- нехватка, недостаток приводят к предыдущей фигуре ту, с помощью которой решают задачу: действительно, если С есть середина АВ и если приложить прямоугольник СК к стороне DB (он занимает положение DE), ио ясно, что прямоугольник AM равен гномону, т.е. равен разности квадратов, построенных на ВС и CD или, пользуясь нашим алгебраическим обозначением, что * — « — ".-(!)■-(1-х) Теперь, зная b и СВ = -, можно с помощью пифагоровой теоремы найти CD = — х, а следовательно, и х. Из евклидовых "Начал" (VI, 28) можно заключить, что таким приблизительно способом была решена эта задача, хотя в указываемой теореме она дана в более общем виде; но употребленное нами преобразование имеется уже у Евклида (II, 5)3 где говорится, что если С есть середина, a D какая-нибудь другая точка АВ, то: AD DB + CD2 = СВ2. * Значение этого обобщения объясняется у нас в § 16. Эта теорема дает непосредственно решение этой же самой задачи, выраженной, однако в следующей форме: разделить данный отрезок АВ на два других, образующих прямоугольник