двумя отрезками, изображающими сомножители, и производили действия над этим прямоугольником. Но так как подобным же образом представляли настоящие произведения целых чисел, то можно было всегда руководиться применяемым в этом последнем случае арифметическим подходом. Поэтому я смогу в нижеследующем, не боясь вызвать этим недоразумений, обозначать через ab прямоугольник, образованный из а и b, а через а2 квадрат, построенный на я. ab / / / ab / / / Фиг. 3. Таким образом получали второе геометрическое представление величин, именно, как площадей, и, прежде всего, как прямоугольников и квадратов. Чтобы складывать или вычитать их, им нужно было придать общую сторону, но не прибегая при этом к теории пропорций, ибо теория эта в том объеме, в каком ею владели в V в., основывалась исключительно на пользовании соизмеримыми величинами. Поэтому при введении в прямоугольник новой стороны основывались на следующей теореме: прямые, параллельные сторонам прямоугольника и пересекающиеся между собой на диагонали, делят этот прямоугольник на четыре других, из коих два равновелики между собой, — именно те, через которые не проходит рассматриваемая диагональ (см. фиг. 3—5, только следует для данного случая заменить квадраты прямоугольниками); если один из этих прямоугольников есть заданный прямоугольник, то нетрудно придать другому данную сторону. Это построение, соответствующее делению, подобно тому, как построение прямоугольника по данным сторонам соответствует умножению, носит название приложения площадей (ъара-/ЗоХгр или простой ъара/Зокц в противоположность эллиптической или гиперболической тгара^о)^, о которых речь будет ниже. Мы увидим, что употребляемая при этом фигура имеет еще и другие важные применения: часть, состоящая, из двух равновеликих прямоугольников и одного из двух других прямоугольников, называется здесь, как и в геометрической арифметике, гномоном,— например, на фиг. 4 это СВЕМ. Рассматриваемая теорема употребляется таким способом у Евклида (I, 43—44), но в несколько более общей форме: прямоугольники здесь заменены параллелограмами. Наоборот, в книге II тот же самый Евклид пользуется прямоугольниками. Что касается