арифметической прогрессии. Впрочем, можно изобразить также разность, как на фиг. 2, отрезком, обозначающим непосредственно произвольное количество. Из обширного исследования о спиралях, данного Архимедом в его Трактате о спиралях, видно, что суммирование было произведено только что указанным способом. Но вернемся к изображению единиц точками, чтобы указать еще на один известный, благодаря Никомаху, способ геометре « » « *-- ческого представления арифметических прогрессий с 1 в качестве первого члена прогрев , ѵ, сии и произвольным целым числом (п — 2) в качестве разности ее; метод этот состоит 1 1 1 ' в употреблении так называемых многоуголь- Фиг. 2. ных (п. угольных) чисел. Второй член (п-1) прогрессии изображают с помощью точек, составляющих вместе с некоторой неподвижной точкой п-угольник. Рассматривая неподвижную точку, как центр подобия, переходят от этого многоугольника к ряду подобных п угольников с помощью ряда гномонов, каждый из которых представляет член прогрессии. В частности для п = 4 получают четыреугольные числа или, — так как вид четыреугольника не имеет никакого значения, -квадратные числа, как мы это уже видели. Эту геометрическую арифметику распространили даже на пространство. Пространственные числа — это числа, изображаемые с помощью параллелепипеда, т.е. произведения трех сомножителей; если эти сомножители равны между собой, то мы имеем кубические числа. Множители двух подобных пространственных чисел пропорциональны друг другу, и следовательно, их отношение равно отношению двух кубических чисел. Пирамидальное число — это сумма ряда п угольных чисел, имеющего первым членом 1, причем предполагается, что многоугольники положены друг на друга так, чтобы образовать пирамиду. 4. Геометрическая алгебра. Какая-нибудь крайне общая — рациональная или иррациональная — величина может, прежде всего, быть изображена длиной прямолинейного отрезка; для вычитания или сложения изображенных таким образом величин надо будет нанести один из отрезков на другой или на его продолжение. Мы отметили выше применения этого метода в случае суммирования арифметических прогрессий у Архимеда; он особенно пригоден для представления уравнений первой степени с целыми коэфициентами или даже рациональными коэ-фицчентами, ибо последние могут быть приведены к целым числам. Умножение общих величин, взятое в непосредственном смысле слова, есть бессмыслица, но с этим справились, применив к общим величинам уже известное нам геометрическое представление произведения двух целых чисел. Однако в древности не обобщали, как в современной математике, арифметических понятий умножения и произведения. Вместо того чтобы говорить о произведении общих величин, говорили о прямоугольнике, образованном