случае может опираться на геометрическую алгебру, развитую им во второй книге "Начал"; мы здесь же сформулируем шестую теорему этой книги, теорему, с которой мы вскоре снова встретимся (см. ниже), в следующем виде: если С — середина АВ, a D точка на продолжении АВ, то AD BD = CD2 — С В2, т. е. пользуясь данными выше обозначениями, В D иѵ = z2- Если все линии представляют к целые числа, то, чтобы АВ = 2СВ (или и — ѵ = 2х) могло быть четным, необходимо, чтобы AD(=u) и BD(= ѵ) были оба либо четными числами, либо нечетными; с другой Фгг j стороны, необходимым и достаточным условием того, чтобы гномон AD BD был квадратным числом, является то, чтобы AD и BD представляли подобные числа, или на нашем алгебраическом языке, чтобы AD — am2? BD = an2; тогда пгл m2 + п2 пп т2 — п2 z = CD = а —-—, х= СВ = а, у = а тп. Мы увидим, что такое представление чисел прямоугольниками и квадратами дало начало принципу геометрической алгебры, между тем как геометрическая арифметика пользовалась еще другими фигурами. Мы сказали, что введение понятия о треугольных числах приписывалось пифагорейцам. Под треугольными числами понимают суммы первых последовательных чисел натурального числового ряда; при этом единицы каждого числа изображают в виде строк из точек, располагаемых друг под другом, так что они составляют треугольник. Легко заметить, что этот способ представления мог дать начало настоящему исчислению: действительно, достаточно для этого построить, наряду с первым треугольником из точек, второй так, чтобы они составляли вместе параллелограм. Так как в каждой строке имеется одинаковое число точек (п + 1, если п означает число строк), то совокупность точек, параллелограмае т.е. удвоенное треугольное число, равно п (п + 1); это, как мы видим, тот же метод, каким пользуются в алгебре, когда прибавляют к самой себе арифметическую прогрессию, взятую в обратном порядке. Так как единица, являющаяся разностью этого ряда, может быть выбрана произвольно и так как аддитивная постоянная дает в каждом члене только произведение, которое должно быть прибавлено к сумме, то легко можно было получить сумму любой