Начав с геометрического представления свойств целых чисел, впоследствии убедились, что этот способ представления также легко применим, вообще, к непрерывным величинам; но это, вероятно, заметили лишь мало- помалу. Поэтому мы начнем прежде всего с рассмотрения геометрической арифметики греков, как с введения к их геометрической алгебре. 3. Геометрическая арифметика. В наших учебниках часто встречается геометрическое доказательство теоремы, "что произведение целых чисел не зависит от порядка сомножителей" Для доказательства размещают единицы, или представляющие их точки, в виде прямоугольника; каждая горизонтальная строка содержит единицы множимого, число же строк равно множителю; заменив горизонтальные строки вертикальными, мы тем самым доказываем возможность обмена места сомножителями. Если вместо единиц мы возьмем маленькие квадраты со стороной, равной 1, то мы одновременно с этим докажем геометрическую теорему, что "площадь прямоугольника выражается произведением его сторон"; если же отказываются взять определенную единицу, то, предполагая, что стороны соизмеримы, получают теорему: "площади двух прямоугольников относятся между собой, как произведения их сторон". От этого геометрического способа представления происходит общеупотребительное у греков название плоских чисел для чисел, являющихся произведением двух сомножителей, т.е. образующих прямоугольную площадь, и употребляемое еще и ныне название квадратных чисел. Плоские числа называются подобными, когда их множители пропорциона ьны; в этом случае числа эти пропорциональны двум квадратным числам. С помощью квадрата, изображающего некоторое квадратное число (я2), можно получить следующее квадратное число [(п+ I)2], построив вдоль обеих сторон 2п новых квадратиков, затем еще один квадратик в получившемся входящем угле. Эта дополнительная фигура называется гномоном; гномоном же называется, вообще, всякая фигура, представляющая разность между двумя перспективно подобными фигурами, с угловой точкой в качестве центра подобия. В данном случае эта разность равна 2/2 + 1. Таким путем можно найти, что квадратные числа представляют суммы последовательных нечетных чисел; если же принять и 2/7 + 1 за квадратное число, то можно получить рациональные стороны прямоугольного треугольника или же решение в целых числах неопределенного уравнения: x2+y2 = z2. Это решение приписывалось Пифагору, а для получения решения, приписываемого Платону, надо принять ширину гномона за 2. Если придать гномону произвольную ширину, то можно получить самое общее решение этого уравнения в целых числах. С этой целью Евклид в первой лемме к теореме 28 второй книги пользуется преобразованием, соответствующим на нашем теперешнем алгебраическом языке, примерно, введению новых неизвестных 2 + х = и, z —х = ѵ (т. е. ширина гномона равна •); иѵ должно равняться тогда некоторому квадрату у2. Евклид в этом