квадратных корней. Наконец, алгорифмики употребляли шести-десятеричные дроби, абакисты же продолжали, отчасти, пользоваться двенадцатеричной системой, происшедшей из римской денежной системы. Леонардо Фибоначчи (Fibonacci), т.е. сын Боначчо, как часто его называют по прозвищу отца, родился в крупном торговом центре, Пизе, где с ранних лет он научился считать на абаке. Во время предпринятых им по торговым делам (или, может быть, по служебным обязанностям) путешествий он посетил Египет, Сирию, Грецию, Сицилию и Прованс; он воспользовался этим обстоятельством, чтобы усовершенствовать свои познания в математике и искусстве вычисления. Приобретенные им таким образом у арабов и византийцев сведения он пытался сообщить "латинской расе" в своем обширном труде "Liber Abaci", в котором он излагает с большим искусством на множестве примеров почти все встречавшиеся нам до сих пор виды исчисления: исчисление целых чисел, производимое по позиционной системе, и исчисление дробей; всякого рода коммерческие счеты; решения задач, которые, если придать им вид уравнений, зависели бы от уравнений первой степени и которые он решает с помощью обоих правил ложного положения и индусского метода обращения, арифметические прогрессии и ряды членов, вторые разности которых постоянны; задачи, которые сводятся к геометрическим прогрессиям или которые — как, например, задачи о размножении кроликов — решаются подобно задачам на сложные проценты; затем некоторые задачи, которые зависят от неопределенных уравнений первой степени, правда, однородных и не представляющих поэтому серьезных трудностей; задачи на извлечение квадратных и кубических корней; наконец, задачи, зависящие от определенных и неопределенных уравнений второй степени. Название "Liber Abaci", собственно, не вяжется с тем, что Леонардо пользуется повсюду числовым символом 0. Но известно, что первоначально он научился счету на абаке; что касается индусской арифметики, то он заимствовал ее непосредственно у арабов и, возможно, не встретил применения ее в Европе, где она была известна лишь в некоторых монастырских кругах. Во всяком случае, он — не алгорифмик по своему первоначальному образованию, ибо он заявляет, что он нашел самостоятельно способ извлечения кубического корня; между тем, эта операция не встречается у Алькархи, того из известных арабских авторов, который оказал на него самое сильное влияние и у которого он действительно заимствовал массу задач, решаемых им, впрочем, самостоятельным образом. Произведенное Алькархи приближенное вычисление квадратного корня (стр. 206) навело, повидимому, Леонардо на мысль о приближенном вычислении посредством правила двух ложных положений, кубического корня, целая часть которого уже