их клетки чисел суммы строк, столбцов и диагоналей равны между собой. Древнейший пример такого магического квадрата содержится в одной китайской таблице, которой, может быть, 4000—5000 лет от роду; таблица эта такова: 8 3 4 1 5 9 6 7 2 Арабы со своей стороны составляли магические квадраты с числами до 16, 25 и 36, и они утверждали даже, что можно составлять такие квадраты с числами до 49, 64 и 81. Впрочем, тем же вопросом занимались и индусские и византийские математики. Гораздо более значительный математический интерес представляет следующее предложение из теории чисел, найденное около 1000 г. Альходжанди (Alkhodjandî) — именно, что уравнение х3 + у3 = г3 не имеет рациональных решений. У Алькархи мы встречаем суммирования рядов 12+22+32+... и 13 + 23 + 33 +..., имеющие греческое происхождение. Однако ему не удалось найти доказательства теоремы о сумме квадратов натуральных чисел, — очевидно он не был знаком с методом Архимеда; что касается второй суммы, то он дает то доказательство, которое мы приводили, когда говорили о знакомстве греков с этой теоремой. Существенным достижением арабов является найденное Аль-каши (Alkâschî) в XV в. выражение для суммы ряда 14+24+34+...+г4, сумма эта равна по Алькархи: [ 5 (l+2+...+г) — 1 +■ (l+2+...+г) (12+22+... + г2). 3. Тригонометрия арабов. Благодаря прекрасному знакомству арабов как с греческой геометрией, так и с индусской арифметикой, они, естественно, сделали свои важнейшие открытия в области вычислительной геометрии или тригонометрии: мы можем отныне с тем большим основанием называть ее так, что арабы, подобно индусам, употребляли таблицы синусов вместо птолемеевских таблиц хорд. Само слово синус индусского происхождения: это точный латинский перевод арабского слова, представлявшего в свою очередь искажение индусского термина, означавшего синус. Чтобы построить тригонометрическую таблицу, надо прежде всего вычислить sin 1° или sin —°, которых нельзя определить 2 посредством квадратных уравнений; мы выше познакомились с решением кубических уравнений, служащих для нахождения этих значений. Чаще всего для этого пользовались — как и впоследствии для вычисления синуса 10' — интерполяцией между синусами, которые можно было выразить посредством квадратных корней. В на