мы имеем в виду счетные доски, счетные машины, марки и пр. Счетные доски разделены на столбцы, содержащие единицы одного и того же порядка, обозначаемые с помощью небольших жетонов или других марок; в счетных машинах, заимствованных европейцами у азиатских народов, давно уже пользовавшихся ими, столбцыи заменены струнами или проволоками, вдоль которых могут передвигаться шарики или другие предметы. В каждом столбце или на каждой проволоке мигут быть два подразделения — одно с 4 или 5 марками для единиц известного рода, а другие с 1 или 2 марками для единиц в пять раз больших. Что касается счетных марок, то существуют различные формы их для обозначения различных видов единиц. Нетрудно убедиться в практических удобствах этих приборов для простых выкладок — сложения, вычитания и умножения — с небольшими числами; поэтому мы не будем останавливаться на рассмотрении различных способов употребления их в разных местах. Мы гораздо больше приблизимся к нашей числовой системе, когда, пользуясь делением на столбцы, мы вместо того, чтобы класть на них марки, станем вписывать в них знаки для чисел от 1 до 9. Впрочем, для этого недостаточно уметь писать, надо, сверх того, еще знать таблицы сложения и умножения или же иметь под рукой такие таблицы, ибо дело здесь не сводится к чисто механическому манипулированию марками. Позиционная система получается теперь, если вместо того, чтобы пользоваться заранее изготовленными столбцами, эти столбцы образуют с помощью самих цифр. В этом случае нуждаются в знаке, который занимает место, не обладая, однако, собственным значением: это-0. Разумеется, нуль не был придуман сразу — и доказательством служит хотя бы то, что позиционная система появилась так поздно* Впрочем, когда даже она была изобретена, потребовалось еще известное время, чтобы научиться пользоваться ею. Для этого, действительно, недостаточно только уметь писать и знать несколько таблиц, как в случае когда цифры вписываются в заранее начерченные столбцы, — но надо уметь еще до известной степени писать правильно и чисто, так, чтобы цифры занимали в точности подобающее им место, и надо еще большее напряжение памяти, чем его требуется, когда имеешь возможность вписать в столбцы столькф цифр, сколько желаешь, — включая в них и те, что держишь в уме. Указанные нами способы не требуют — за исключением последних двух — знания письма, и это относится также к первым стадиям эволюции письменной нумерации, заключавшимся просто в замене подвижных жетонов, шариков или других аналогичных предметов неподвижными марками. Для каждой единицы клали марку, точно так, как поступают еще и в настоящее время, когда единицы появляются последовательно друг за другом, как, например, при подсчете числа поданных на вьиборах голосов. Марки эти, взятые вместе, могли порождать новые знаки для 5 или 10 — чисел, получивших впоследствии свои особые специальные марки, а также для единиц высших порядков. Так можно