Чтобы дать еще более ясное представление о многочисленных рассмотренных Диофантом задачах, мы выберем наудачу три примера, снабдив их краткими указаниями насчет того, как он их решает. 11,20: Найти таких три квадратных числа, чтобы разность между наибольшим из них и средним находилась в данном отношении к разности между средним и наименьшим из них. Если обозначить наименьшее число через х2, среднее через (х + я)2, то наибольшее будет (х + a)2 + m [(х + а)2 — х2]. Условие, чтобы это последнее выражение было квадратом, выражается уравнением вышеупомянутого типа (1). Диофант довольствуется следующими значениями для данных чисел: m = 3 и а=\. III, 2: Найти три таких числа, что квадрат их суммы дает новые квадраты, если к нему прибавить каждое из этих чисел. Диофант изображает сумму символом х\ тогда условия задачи будут выполнены, если искомые числа будут: (а2- 1)х2, (Ь2-\)х2, (с2-\)х2 и если (а2 — 1)х2 + (Ь2 — 1)х2 + (с2 -\)х2 = х, откуда получается для х рациональное выражение. Диофант дает для a, b и с лишь значения 2,3 и 4. IV, 27. Найти два таких числа, чтобы произведение их, сложенное с каждым из обоих чисел, было кубом. Диофант приравнивает первое число а3х, второе же х2-1 и придает а значение 2; в таком случае одно из условий оказывается немедленно удовлетворенным и остается еще, чтобы уз = агхд _j_ ѵ2_ азх- ив В соответствии с методом решения неопределенных квадратных уравнений (1) и (2) это кубическое уравнение можно решить, положив у- ах-1; отсюда получается уравнение первой степени, дающее х. Укажем еще, что некоторые из рассматриваемых Диофантом задач являются для него поводом обнаружить свое знакомство с рядом теорем, относящихся к теории чисел, как, например, со следующей теоремой: число вида {a2 -f b2)(c2 + d2) можно разложить двумя способами на сумму двух квадратов, именно: (ac+bd)2 + (ad±bcj2, а также со следующей другой теоремой: число вида 4/2 + 3 никогда нельзя разложить на сумму двух квадратов. Эти примеры показывают с достаточной убедительностью, что Диофант искал только рациональные (и, разумеется, положительные) решения, а не непременно целочисленные решения, так