Ко второму из приведенных выше типов уравнений сводится система двух уравнений или, как выражается Диофант, двойное уравнение: У2 = ах+ b\ 1 (3ч z2 = cx + b\ J w По существу, нет нужды, чтобы последние члены на правой стороне были одинаковыми; достаточно, чтобы они были просто квадратными числами, ибо в этом случае им можно придать одинаковое значение в обоих уравнениях, умножив одно из них на квадрат. Допустим для простоты, что это уже сделано. Вычтя одно уравнение из другого и выразив х через z, получаем: у2 — z2 = (z2 — б2) = ае (z — b) (z + b). с с Если положить z = t + b} то имеем: у2 = а f + 2аЬ t + б2—уравнение типа (2). с с Благодаря другим уловкам того же порядка, с алгебраической точки зрения, имеющим, следовательно, общий характер, или же благодаря более специальному употреблению числовых свойств предложенных чисел, Диофант сумел найти также частные рациональные решения для уравнений вида: у2 = ах2 + Ьх + с.} 22 = их2 + ex +1 J (4) однако в том только случае, если си/ или а и à представляют одновременно квадратные числа. Но понять общий метод Диофанта можно лишь рассмотревши, как он решает ряд частных задач. Поэтому мы приведем здесь образчики его задач и их решения. Так, например, в шестой задаче шестой книги требуется найти такой прямоугольный треугольник, чтобы сумма площади его и одной стороны, выраженная в рациональных числах, равнялась некоторому данному числу» Чтобы лучше понять, когда Диофант употребляет свои символы и когда нет, мы при изложении этой задачи будем пользоваться символами х и х2 вместо оригинальных знаков Диофанта, употребляя в то же время другие буквы для обозначения чисел, которые он выражает словами. Задача тогда сводится к тому, чтобы найти такие рациональные значения ДВ и С, которые удовлетворяют уравнениям: А2 + В2 = С2 и 1 АВ + А = а, 2 где а представляет некоторое данное число.