чисел. Доказательство это на языке современной алгебраической символики можно выразить следующим образом: (1 + 2+... + fl)2-(и + 2 +... + я — 1)2 = нп (п + 1) +пп (п~1) =п\ 2 2 Разность между двумя квадратами можно представить по греческому способу посредством гномона, состоящего здесь из двух прямоугольников: л (1+2 +...+п) = ли^й и л (и+2+...+п-1) = я — ^^. До 300 г. (н. э.) к сокровищнице арифметики в том объеме, в каком она имелась во времена расцвета греческой геометрии, были присоединены лишь отдельные разрозненные открытия; но и о них мы не знаем, в какую эпоху они были сделаны. Только у Диофанта александрийского мы встречаем нечто новое, представляющее довольно значительный общий интерес. Его дошедший до нас труд по арифметике показывает нам греческую математику с такой стороны, о которой мы имеем лишь слабое и неясное представление на основании сохранившихся произведений его предшественников. Разумеется, теоретическая основа труда Диофанта — та же, что и у Евклида, и цель его интересных исследований заключается — как мы уже это указали, говоря о его предшественниках — в том, чтобы избежать иррациональных количеств. Но изыскания эти получили неизвестный до того размах; с их помощью он в состоянии дать примеры определенных задач, приводящих в самых различных формах к уравнениям с рациональными решениями, и, кроме того, выставить обширный ряд неопределенных задач, для которых нужно всегда найти рациональные решения. Между методом Диофанта и сохранившимися до нас способами изложения его предшественников существует, кроме того, следующее крупное отличие: Диофант занимается лишь специальными числовыми задачами и для решения их пользуется лишь чисто числовыми операциями, не устанавливая никогда общих теорем. Так как не только данные числа рациональны, но должны быть рациональны и искомые числа, то он не так нуждается в геометрическом представлении, как исследователи, результаты работ которых должны были быть применены к любым величинам, независимо от того, можно ли их представить числами (т. е. рациональными числами), или нет. Правда, Диофант заимствует свою терминологию из мира геометрических представлений, говоря, например, прямоугольник вместо произведения и т. д., но рассматриваемые им величины представляют все же только числа. Это видно хотя бы из того, что он не соблюдает геометрической однородности, складывая, например, спокойнейшим образом сторону с площадью.