Но так как из "Начал" мы знаем, что средняя геометрическая двух величин меньше их средней арифметической, или что то Убедившись, таким образом, в прочности основ, заложенных Аполлонием в первой книге, мы тем лучше можем понять, как он сумел подняться на такую высоту в других книгах, особенно в третьей и, отчасти, в пятой. Мы должны ограничиться здесь лишь кратким обзором содержания этих книг. Во второй книге выясняются основные свойства асимптот и сопряженных диаметров. В ней рассматриваются, кроме обеих ветвей какой-нибудь гиперболы, еще и сопряженные гиперболы, расположенные в различных углах, образуемых асимптотами, и имеющие диаметры одинаковой длины. Дело в том, что даже диаметрам, не пересекающим кривых, приписываются определенные длины, совпадающие фактически с теми, какими мы пользуемся в настоящее время. В этой книге решаются еще различные задачи о диаметрах и асимптотах, в частности, построение центров и осей данного конического сечения, построение касательной, образующей данный угол с диаметром, проводящим через топку касания, и т. д. В третьей книге рассматриваются, прежде всего, свойства точек кривых, независимые от диаметров и осей. Аполлоний выводит их без труда из названной уже нами теоремы площадей, сводящейся фактически к отнесению кривой к двум несопряженным диаметрам. Легко понять, что это является также отличным исходным пунктом для доказательства известной уже Архимеду теоремы о степени, — теоремы, относящейся к хордам, имеющим данное, но произвольно выбранное направление. В этой книге встречаются также главные теоремы о полюсах и полярах и, наконец. — получение конического сечения с помощью двух пучков прямых, называемых в настоящее время проективными или гомографическими: вершинами этих пучков являются любые точки А и С кривой, а соответствующие прямые AM и СМ характеризуются тем, что они отсекают на прямых, провеленных через С и А параллельно касательным в Л и С, такие отрезки CP и AQ, что построенный на них прямоугольник обладает постоянной площадью. Легко заметить, что все эти предложения неполны и даже мало понятны, если рассматривать только одну ветвь гиперболы. Поэтому ясно, какие выгоды представляет рассмотрение обеих ветвей гиперболы, как это начал делать — особенно в третьей книге своего труда,— Аполлоний, который благодаря этому возвышается над всеми прежними исследователями этого вопроса, хотя