Коническое сечение с центром С и диаметрами СЕ и СВ рассматривают, как геометрическое место таких точек Я, что четыре-угольник СМИТ, ограниченный этими двумя диаметрами, прямой НМ, параллельной хордам, сопряженным с С В, и прямой НТЩ параллельной хордам, сопряженным с СЕ, имеет постоянную площадь. Для нас эта теорема площадей носит общий характер^ при условии, конечно, что в случае невыпуклых четыреуголь-ников мы приписываем знак + или — каждой из их частей в зависимости от их положения по отношению к периметру; наоборот, Аполлоний должен разложить эту теорему на несколько различных теорем, взаимную связь которых он, однако, отлично понимает. Нетрудно понять, какое приложение делает из этой теоремы автор в первой книге, если обратить внимание на то, что сперва она выводится из уравнения кривой по отношению к одному из диаметров и сопряженным с ним хордам и что затем она приводит соответствующим образом к уравнению кривой по отношению к другому диаметру и сопряженным с ним хордам. Из первой книги упомянем еще о способе проведения касательных. Для этой операции надо, согласно уравнению кривой, провести через точку (х, у') кривой прямую, все другие тоэтси которой (х, у) удовлетворяют неравенству: 2рхТ — х2 а 2рх+ — х2 а неравенству, в котором для параболы — принимает значение нуль. а Аполлоний показывает, что для эллипса и гиперболы это имеет место, если касательная и ордината в точке (х, у') делят гармонически диаметр (правда, выражение "гармонический" — более позднего происхождения). Не воспроизводя здесь этого слишком пространного доказательства, мы ограничимся доказательством того, что прямая, выходящая из точки (х, у') параболы у2 = 2рх и встречающая ось абсцисс в точке (-х\ 0), касательна к параболе. Это можно доказать, примерно, так: если (х, у) представляет какую-нибудь точку этой прямой, то У» = У2 (х + х)* 4х2 '