откуда следует в 6, что х и у относятся к тому виду иррациональных величин, которые получили в десятой книге название апотомы (apotomes). За этим следует несколько теорем о сторонах правильного пятиугольника, шестиугольника и десятиугольника. Следует отметить, в частности, десятую теорему с ее изящным доказательством того, что сторона правильного пятиугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого будут стороны правильного шестиугольника и десятиугольника. В теореме 11 вычисляется, на основании геометрических соображений, сторона правильного пятиугольника, вписанного в круг с диаметром d; полученный Эвклидом результат мы бы выразили формулой d г/5 — 1 j/5, но Евклид лишен средств для состав 2^2 2 ления такого выражения; он довольствуется поэтому доказательством того, что при рациональном d сторона пятиугольника иррациональна и принадлежит к типу, названному им в десятой книге "меньшей иррациональностью". Надо заметить, что доказательство это у Евклида очень многословно: дело в том, что ему приходилось доказать, что в выражении стороны пятиугольника нельзя устранить двойной иррациональности, ибо в последнем случае иррациональная величина принадлежала бы к другому классу. В теореме 12 определяется сторона равностороннего треугольника. В теореме 13 дается построение правильного тетраэдра и доказывается, что его ребро к равно d\/, где d представляет диаметр описанного шара. В теореме 14 дается построение правильного октаэдра и доказывается, что k=d\/ *. В теореме 15 дается построение правильного гексаэдра и доказывается, что к = ^ j/g В теореме 16 дается построение правильного икосаэдра и доказывать, путем действительного вычисления, что ребро его есть "меньшая иррациональность". В теореме 17 дается построение правильного додекаэдра и доказывается, путем действительного вычисления, что ребро его принадлежит к типу иррациональных величин, называемых анатомами. В теореме 18 показывается на одном и том же чертеже построение ребер различных правильных многогранников; чертеж этот служит в то же время для сравнения между собой этих различных ребер.