F точке D, основании первого перпендикуляра. Далее (12), для того чтобы восстановить в какой-нибудь точке плоскости перпендикуляр к ней, он опускает сперва из какой-нибудь внешней точки перпендикуляр на плоскость, после чего он проводит из данной точки прямую, параллельную этому перпендикуляру. В этой книге Евклид устанавливает, в частности, ряд теорем, которые пригодятся ему впоследствии при построении параллелепипедов и многогранников, как, например в 20 и 21, — известные теоремы о плоских углах многогранного угла. После этого в 22 подготовляется, а в 23 выполняется построение трехгранного угла по заданным плоским углам; для этого на сторонах углов, данных как грани искомого трехгранного угла, откладывают равные отрезки; потом в получившихся, таким образом, трех равнобедренных треугольниках берут их основания и по ним строят треугольник., вокруг которого описывают окружность; центр этой окружности и есть проекция вершины искомого трехгранника. Евклид тщательно доказывает возможность этого построения, исходя, конечно, из условия, что грани удовлетворяют требованиям теоре, м 20 к 21; и, таким образом, он показывает, что эти условия достаточны. Остальная часть книги посвящена, главным образом, вопросу о параллелепипедах, об отношениях между их величинами и заканчивается теоремой о нахождении объема треугольной призмы. Но в доказательствах этой книги есть отмеченный уже выше (стр. 96) недостаток, связанный с геометрическими гипотезами о стереометрических величинах. В двенадцатой книге имеется среди прочих и теорема о нахождении объема пирамиды; мы еще будем иметь случай подробнее говорить о ней, а также и о нахождении других объемов, получаемых в этой книге с помощью метода исчерпывания. Конец стереометрии находится в тринадцатой книге, посвященной вопросу о нахождении пяти правильных многогранников, а также величины их ребер по величине диаметра описанного шара" Для этого необходимы некоторые геометрико-алгебраические леммы, а также более полное определение сторон правильных многоугольников, чем это было сделано в четвертой книге посредством построения многоугольников. Первые предложения можно выразить на языке нашей современной алгебры следующим образом: если х и у представляют части отрезка, разделенного в среднем и крайнем отношении, причем х у, то [2 представляет теорему обратную 1]; flZ + у2 = Зх2) аг -х{а-\х); (4) (5)