Заметим еще, что, подвигаясь синтетически от более специальных случаев к более общим вопросам, мы должны, вообще говоря, притти к такой точке зрения, откуда уже может затем начать развертываться аналитическая система. 14. Геометрические гипотезы Евклида*. Гипотезы, на которых основывается у Евклида геометрия, содержатся в определе-лениях, посиулатах и аксиомах различных книг "Начал14. Особенный интерес представляют гипотезы первой книги, ибо вместе с полученными из них постепенно результатами они являются основой гипотез других книг. Поэтому мы остановимся на них, дополнив их, однако, сейчас же некоторыми из других гипотез, вводимых в дальнейшем. Что касается гипотез, имеющих отношение к некоторым частным теориям, как, например, теория пропорций, то их мы коснемся лишь в связи с самими этими теориями. При первом знакомстве с определениями, постулатами и аксиомами Евклида должно, несомненно, показаться, что они нисколько не удовлетворяют требованиям формы и логической строгости, выдвинутым, как мы сказали, древними. Так, например, можно убедиться, что различные определения не говорят ровно ничего об определяемом предмете и нисколько не гарантируют того, что существует, действительно, некоторый объект, отвечающий определениям. Определение прямой линии ** можно, по существу, заменить такого рода утверждением: существует известный вид линий, которые -называются прямыми. Чтобы узнать, к какому сорту линий относятся прямые, т.е. каковы те свойства линий, которые мы употребили бы в настоящее время для этого определения, надо обратиться к постулатам, содержащим гипотезу, что прямая линия обладает такими-то и такими-то свойствами. Что касается самих постулатов и аксиом, то они часто сформулированы с крайней сжатостью, превращающей их в настоящие загадки и резко контрастирующей с обстоятельным и подробным изложением всего, имеющего отношение к теоремам и чисто математическому доказательству их. * Слово гипотеза употребляется нами в общем и ходячем смысле, что, впрочем, достаточно ясно видно из контекста. В соответствии с ходячим словоупотреблением было бы лучше сказать предположения (suppositions). ** Надо заметить, что даваемые Эвклидом определения прямой и плоскости темны и что их истинный смысл утратился уже во времена Прокла: "Прямая линия это такая линия, которая ex aequo во всех своих точках". — "Плоскость-это такая поверхность, которая ex aequo для всех расположенных в ней прямых*. Определения эти возникли, повидимому, из техники строительного искусства м имели только эмпирическое значение (Т). Надо заметить, что математик относит к числу определений, постулатов и аксиом все те гипотезы, которые он считает необходимыми в своей области и, делая это, он не объясняет ни как, ни почему так надо поступить. Обязанность математика дать предварительно полный перечень того, что он хочет предположить, но он должен сделать это с достаточной ясностью так, чтобы в случае необходимости пользоваться этими предпо-