гранников как бы венчает труд Евклида, то под влиянием этого еще с ранних пор стали включать в "Начала" в качестве четырнадцатой и пятнадцатой книги исследования других авторов об этих многогранниках. Если рассматривать первую книгу "Начал" самое по себе, то речь в ней идет о нахождении того, что логически необходимо для установления геометрической алгебры, развитой во второй книге. Основанием этой алгебры являются заэершающие первую книгу теорема о гномоне (I, 43), и пифагорова теорема (I, 47). Однако, наряду с главной целью, преследуется и другая вспомогательная задача, именно, теорема (32) о сумме углог* треугольника, которая необходима для главной цели и которую Евклид связывает в средине этой книги с теорией параллельных. Наряду с этим, в книге имеется еще ряд теорем о взаимном расположении прямых линий, о перпендикулярных и параллельных прямых с соответствующими построениями, о равенстве и построении треугольников и о зависимости между равенством и неравенством сторон и углов. Все это представляет не вполне обозримую смесь разных положений, являющуюся, однако, результатом логически надежного метода, согласно которому теоремы воздвигаются друг на друге. Упомянем, например, что теоремы о равенстве треугольников даны в предложениях 4, 8 и 26; в то же время Евклид нисколько не интересуется вопросом о равенстве треугольников, у которых равны один угол, одна прилежащая к нему сторона и сторона протцволежащая; действительно, ему нечего делать с подобными теоремами. В шестой книге, где ТУН собрал теоремы о подобии треугольников, он останавливается на соответствующем случае подобия. В конце книги даны теоремы о равенстве площадей в более тесной связи друг с другом. Так как мы выдвинули здесь идею о синтетической теоретической системе7 то мы скажем еще несколько слов о том, что мы понимаем под аналитической системой, не только антитезы ради, но и в целях полного выяснения, независимо от приложения всего этого к трудам древних, понятий анализа и синтеза. В синтетической системе мы лишь постепенным образом поднимаемся к рассмотрению более сложных и общих отношений; наоборот, в аналитической системе мы исходим из некоторого общего принципа, который, в силу самой своей общности, может представлять известную простоту, и из этого принципа выводим требуемые в разных частных случаях отношения. Изложение геометрии, в котором начинают с прямой линии и круга, поднимаясь постепенно до конических сечений и кривых высших степеней, по существу носит синтетический характер, хотя бы даже частные вопросы трактовались в нем аналитически; изложение же, в котором сразу исследуют общие свойства кривых, чтобы получить отсюда частные теоремы о прямых или конических сечениях и пр., по существу аналитическое. Типичный пример аналитического изложения представляет аналитическая-механика Лагранжа (Lagrange), где все вытекает из принципа виртуальных скоростей. Если бы принцип этот был принят как гипотеза, которая должна быть доказана на основании своих приложений или своих следствий, то изложение абсолютно соответствовало бы приложению аналитического метода к частным теоремам, как мы его понимаем. Хотя у Лагранжа принцип этот предварительно доказывается, но это не меняет сущность дела, и когда изложение Лагранжа называют аналитическим, то это не расходится с принятым нами для названного слова смыслом.