Употребление геометрических мест и само нахождение этих мест представляет, таким образом, другой пример применения аналитического метода, восходящий, вероятно, к пифагорейцам. Но лишь в школах, основанных преемниками Архита, Платоном и Эвдоксом, метод этот принял ту форму, в которой он стал обычно применяться греческими математиками. Метод в его применении и изложении полученных с его помощью результатов состоял из ряда звеньев, описание которых легко дать на примере эллиптического приложения площадей м к ? (стр. 43). Но мы изложим здесь содержание этих звеньев несколько короче, чем это сделали бы древние. 1. Задача ставится в протазисе (игротааис): приложить к данному отрезку заданную площадь, так чтобы нехватало п~ £ квадрата. Фиг. п. 2. В эшезисе (гх&еаис) задачу относят к некоторой начерченной фигуре и формулируют ее: приложить к отрезку АВ в виде прямоугольника (начерченный) квадрат q так, чтобы нехватало квадрата. 3. В апагогф {аш^ьцг^) ИЛИ преобразовании предполагают, что задача решена (с помощью прямоугольника AM, у которого нехватает квадрата ВМ)% и сводят ее к уже известной зидаче следующим путем: принимая С за середину АВ, помещают прямоугольник КС на DB и получают DE. Прямоугольник AM преобразуется, таким образом, в гномов или же в разность квадратов СВ2 и CD2, следовательно, надо определить отрезок CD таким образом, чтобы этот гномон равнялся квадрату q. 4. В так называемом разрешении (résolution) исследуют, на сколько действительно имеют все необходимое для решения поставленной задачи; в рассматриваемом случае это имеет место лишь тогда, когда q, которое должно равняться гномону, вырезанному из квадрата СВ\ меньше этого квадрата. Это показывет нам, что в поставленной здесь задаче чего-то нехватает; действительно, задачи обыкновенно (по крайней мере, те, которые сохранились в дошедших до нас трудах греческих математиков) ставились с таким ограничением, которое позволяло решить их. Благодаря этому в рассматриваемом случае мы получаем вместо задачи, с одной стороны, теорему, а с другой, — более ограниченную проблему. Цель теоремы (встречающейся в несколько более общем виде в "Началах", VI, 27) — доказать, что прямоугольник, приложенный к отрезку так, чтобы нехватало квадрата, меньше или равен квадрату, построенному на полуотрезке или же, если угодно, что прямоугольник меньше квадрата, имеющего тот же периметр. Проблема (встречающаяся в более общем виде в "Началах*, VI, 28) тождественна с задачей, решение которой мы пытались дать здесь, с той, однако, разницей, что данный квадрат должен