с тем, что]/2 изображается гипотенузой АВ подобного треугольника АЕВ. Если Z есть точка, в которой перпендикуляр, восстановленный к АВ в D, пересекает катет ЕВ, то мы имеем: DB = DZ и AD2 + DZ2 = АЕ2 + EZ2 = 2АС2 + 2CD2. Е Чтобы сделать еще более ясным приложение найденного уравнения, положим CD = x, BD=y, откуда AD = 2х + у, АС = х + у, обозначив последние два коли-А С D В честна через уг и хь имеем: ФИГ. 6. 2ХГ* — Ух2 = — (2X2 _ у2). Найденное уравнение даст возможность получить на основании решения в целых числах одного из двух неопределенных уравнений, 2х2 — У2 = + 1, решение другого уравнения с большими числами хг = х + у и ух = 2х + УЕсли продолжать поступать таким образом, то значения ^ ^ и т. д., которые поочередно или слишком велики, или слишком малы, все более приближаются к |/2; можно начать с х = у = 1. Впрочем, пифагорейцы знали уже приближенное значение 7/5. Возможно, что и в других частных случаях пытались произвести таким образом извлечение квадратного корня; это относится к уже упомянутым выше доказательствам иррациональности ряда частных корней (стр. 50). Кроме того, данный Эвклидом метод для проверки иррациональности содержит в себе подобное извлечение корня, обнаруживая сходство с современным употреблением непрерывных дробей, и их подходящих. Это сходство заметно уже в изложенном нами вычислении]/2; возможно, впрочем, что и при извлечении других частных корней тоже пользовались неопределенными уравнениями второй степени, которые вместе с другими неопределенными уравнениями (как, например, X2 + у2 = z2), с помощью коих составляли числовые примеры, свободные от извлечения квадратного корня, способствовали развитию у греков искусства решать некоторые неопределенные уравнения второй степени, — искусства, о котором свидетельствуют сочинения Диофанта, относящиеся к гораздо более поздней эпохе. Но именно тот факт, что приходилось прибегать к такого рода специальным методам, свидетельствует достаточно убеди