приходится продолжать до бесконечности, то сравниваемые величины несоизмеримы. Этим способом легко убедиться, что отрезок, разделенный в среднем и крайнем отношении, дает два отрезка, несоизмеримые между собой и с первоначальным целым отрезком. Действительно, если мы назовем отрезок а, а части его от деления х и у, то мы имеем: а х = у х~~ у х —у' Так как операция для получения общей меры приводит к новому аналогичному с первоначальным подразделению получившихся от деления отрезков, то ясно, что ее никогда нельзя довести до конца. уТ— 1 Этим способом можно доказать, что —_— и, следовательно, также]/5 иррациональны. Весьма вероятно, между прочим, что Теэтэт пользовался аналогичным приемом в своих доказательствах иррациональности таких величин, как]/3, j/5,...]/17. Так как корни уравнений второй степени в случае несоизмеримости их с заданными величинами не могут быть выражены точным образом с помощью этих величин, то понятно, что греки в своих точных вычислениях не вводили никаких приближенных значений, а только продолжали действия с найденными количествами, изображенными отрезками, которые получались при построении, соответствовавшем решению задачи. По существу мы поступаем таким же образом, когда вместо вычисления корней мы довольствуемся выражением их с помощью знаков квадратного корня или других алгебраических символов. Однако так как всякий отрезок похож на любой другой отрезок, то этим способом нельзя было достигнуть прозрачности нашей алгебраической символики, и пришлось предпринять классификацию иррациональных количеств, получаемых при последовательных решениях уравнений второй степени. Попытку такого рода классификации предпринял во времена Платона Теэтэт, работу которого продолжал Евклид, включив ее в десятую книгу "Начал". При разборе этой книги мы вернемся к этому вопросу; пока же заметим, что в труде этом должны были рассматриваться также случаи, когда величина, принадлежащая по видимости к одному классу, сводится в действительности к другому классу, иначе говоря — в нем должен был быть разобран вопрос об упрощении двойной иррациональности. Приложения этой классификации мы встречаем в тех случаях, когда желают определить в точности величины, зависящие от квадратных корней; мы с этим встречаемся при определении сторон простейших правильных многоугольников, а также ребер правильных многогранников. Теэтэт, в частности, занимался особенно много этим последним вопросом, играющим кардинальную роль в евклидовых "Началах".