деленных уравнений вида х2 + у2 = z2. Но в геометрических задачах или в случае других приложений приходилось брать величины такими, какими они были, и если невозможно было найти рациональное решение, т.е. решение, выразимое точно в числах, то оставалось сделать следующие две вещи: 1) доказать, что искомые количества действительно не были рациональными и, перейдя к уравнениям, где заданые величины были уже иррациональными, классифицировать различные представляющиеся иррациональные количества; 2) в приложениях вычислять иррациональные количества с максимально возможным приближением. Особенно много изысканий было произведено греками в первом направлении; мы уже привели пример исследований этого рода в решении Эвклидом уравнения х2 + у2 = z2, и так как он его решил полностью, то нашел не только достаточные, но и необходимые условия для того, чтобы |/х2 + у2 и]/х2—у2 были рациональными; он нашел, таким образом, что если условия эти не выполнены, то рассматриваемые корни иррациональны. Гораздо менее сложно доказательство иррациональности Ѵ~2~9 вероятно, очень старое и помещаемое ошибочно в некоторых изданиях в конце десятой книги "Начал". Отвлекаясь от геометрического способа представления его можно выразить приблизительно следующим образом: если имеем]/2 = ™, дроби, насколько возможно сокращенной), то имеем также т2 = 2п2, откуда следует, что m2 а также и m четное число; так как п представляет наипростейшую дробь, то п должно быть нечетным. Но если m — четное, то т2 должно делиться на 4, в таком случае п2 должно делиться на 2; т.е. п должно быть четным. Но так как п не может быть одновременно четным ц нечетным, то}/2 не может быть несократимой дробью. Этим методом, как известно, пользуются вообще для доказательства, что корень целого числа не может быть дробью. Ряд теорем восьмой книги "Начал" введен, вероятно, первоначально с этой целью; это относится, например, к шестой теореме, утверждающей,—хотя и в другой форме, — что степень несократимой дроби должна быть, в свою очередь, несократимой дробью. Таково, во всяком случае, общее доказательство, которым пользовались впоследствии, как это видно из комментария Эвтокия к Архимеду. Однако Евклид в десятой книге "Начал" дает еще общий способ проверки рациональности какой-нибудь величины или, — что сводится к одному и тому же—-соизмеримости двух величин. Способ этот сводится к тому же алгорифму, с помощью которого находят общую наибольшую меру двух величин. Представив эти величины с помощью двух отрезков, наносят меньший из них b на больший до тех пор, пока не получится остаток с, меньший Ь, затем таким же образом наносят с на b и т. д.; если операцию