и что пифагорейцы изучали некоторые особенные целые числа, как, например, дружественные числа (т.е. такие числа, из которых олиф равно сумме множителей* другого) или совершенные числа, равные сумме своих собственных множителей (6=1 + 2 + 3). Наконец, Пифагор будто бы установил отношения между геометрией и арифметикой или музыкой. Мы рассмотрим подробнее некоторые из этих вопросов и их значение для судеб греческой математики, но прежде всего мы выясним связь их, чтобы показать согласие между данными, опирающимися на весьма различные источники. Прежде всего отметим попытку выяснить содержание понятий точка, линия и т. д. Укажем далее, что уже тогда обладали понятием угла и применяли его как к делению плоскости, так и к исследованию того, какие возможны правильные многогранники. Разумеется, потребовалось немало труда, чтобы притти также к точному определению и построению додекаэдра и икосаэдра, как они даны у Евклида, но первый шаг в этом направлении, построение правильного пятиугольника, был сделан, и это явно переполняло гордостью сердца сделавших его. В случае построения стороны пятиугольника или десятиугольника мы имеем уже пример геометрического решения уравнения второй степени, решения, дважды повторяющегося у Евклида. Что пифагорейцы не ограничились одним этим случаем, это видно не только из сообщения о приложении площадей, но еще из упоминания в частности пифагоровой теоремы, столь важной, как мы увидим, для исследований этого рода, а также и одного не менее важного, придуманного ad hoc, построения. Прибавим к этому, что уравнения второй степени дали повод к открытию несоизмеримых величин, а числовые уравнения-к открытию иррациональных величин (под иррациональными величинами мы понимаем всегда величины несоизмеримые с употребляемой единицей). Возможно, что пифагорейские изыскания в области теории чисел являлись частично продолжением мистических выкладок вавилонян; но наряду с этим им удалось добиться составления квадратных уравнений, свободных от иррациональных корней. В исследованиях общего порядка нельзя избегнуть иррациональных величин; благодаря этому прежние математические методы оказались не вполне надежными, и большой заслугой пифагорейцев является т о, что они заметили это. * За исключением самого этоог числа. С пропорциями тогда были уже хорошо знакомы, и, вероятно, уже с ранних пормими пользовались в том или ином виде. Но до Эвдокса речь могла итти лишь о равенстве отношений между целыми числами или о равенстве этих отношений отношениям между геометрическими величинами, которые, следовательно, должны были быть соизмеримыми; в ходу были простые арифметические действия, как, нап имер, умножение; по примеру египтян, знали,