Из "Sphaerica" видно, что понятие о сферическом треугольнике, его сторонах и углах, было уже общеизвестным. В первых двух книгах этого труда вопрос о равенстве и неравенстве сторон и углов в одном или двух сферических треугольниках исследуется с той же тщательностью, с какой Евклид изучает в первой книге "Начал" соответствующие более легкие вопросы, относящиеся к плоским треугольникам. Третья книга начинается с основной теоремы, на которую мы только что указали и которая является распространением на сферическую геометрию одной планиметрической теоремы, тесно связанной с вопросами, рассматриваемыми в евклидовых "Поризмах", а именно с следующей теоремой: если прямая пересекает в точках Д Е, F стороны треугольника АБС, противолежащие углам А, В, С, то BD CE AF^ CD' АЕ BF~~ Легко видеть, что теорема эта сохраняет силу, если заменить прямые линии дугами больших кругов на одном и том же шаре, а прямолинейные отрезки синусами отрезков дуг — хордатѵш двойных дуг, как сказал бы Менелай. Приложения Менелаем этой теоремы являются также подражанием планиметрическим теоремам, которые можно было найти в "Началах" и "Поризмах" Евклида или в других подобных трудах; и если мы для большей простоты употребляем выражение синус — как это делали еврейские и греческие авторы, сохранившие для нас утерянный в оригинале труд Менелая — то следует иметь в виду, что в названных приложениях слово синус никогда не относится к углам сферических фигур, а только к их сторонам или дугам больших кругов. Эти синусы — или в одном специальном случае их отношения к синусам дополнительных углов, т.е. тангенсы — заменяют всегда прямоугольные отрезки плоской фигуры. Отсюда можно заключить, что греки никогда не помышляли о том, чтобы найти общую зависимость между углами и сторонами треугольников — как плоских, так и сферических. В качестве образчика результатов, получаемых Менелаем с помощью его основной теоремы, мы приведем распространение на шар евклидовой теоремы о пропорциональности между двумя сторонами плоского треугольника и отрезками, отсекаемыми на третьей стороне биссектрисой противолежащего угла. Еще более непосредственным приложением менелаевой теоремы было предложение, широко употреблявшееся впоследствии арабскими астрономами и известное у них под названием правила четырех величин. Для получения его надо (см. фиг. 27) принять AF = АЕ = 90°, тогда формула Менелая сводится к sin BF _ sin£P sin CE sinCD