между отношениями различных сторон того же самого прямоугольного треугольника (sin2x -f cos2 х = 1), в другом же случае он употребляет нижние пределы, и пределы эти выражаются различно образованными приближенными значениями. Взяв исходным пунктом прямоугольный треугольник с углом и переходя от него к новым треугольникам, Архимед находит, пользуясь нашими обозначениями, что 9б^4673Ѵа Й тс 66 sin -, 96 20171/4 получая отсюда вышеуказанные пределы для тс. После того как начало было сделано Архимедом, Аполлоний мог дать уж более точное определение тс, и, может быть, ему именно принадлежит значение 3,1416. С этой именно степенью точности определялось впоследствии тс в таблицах хорд дуг Птолемея и у индусских авторов. В труде Архимеда содержатся вычисления нижних пределов sin 71 и верхних пределов tg л для п = 6, 12, 24, 48, 96; последнее п п дает также пригодный верхний предел sin^6 и сочинение Аристарха показывает, что им умели пользоваться. Произведенное Аполлонием вычисление тс должно было привести к еще более точному вычислению синуса небольшой дуги или той величины, значения которой, собранные в таблицы, были сохранены для нас позднейшими греческими астрономами — мы имеем в виду хорду двойной дуге. Чтобы "построить полную таблицу хорд дуг, кратных данной небольшой дуге, достаточно знать лишь теорему о вписанных четыреугольниках-так называемую теперь птолемееву теорему, названную так потому, что Птолемей пользуется именно ею для вычисления своей таблицы хорд — или же знать какую-нибудь другую аналогичную теорему. Подобная теорема могла быть легко открыта во времена Архимеда к Аполлония или после них, когда возникла насущная потребность в таблице хорд. Однако главная трудность заключалась и здесь, разумеется, в достаточно точном извлечении квадратных корней. Но именно эта трудность и явилась причиной усовершенствования употреблявшихся методов; как мы уже сказали раньше (стр. 54), достигнутые здесь успехи были связаны с введением шестидесятиричных дробей. Первая достоверно засвидетельствованная таблица хорд дуг относится ко второму веку до начала н. э.; составленная великим астрономом Гиппархом, она, как и другая, более близкая к нам по времени, таблица Менелая, была утеряна. Зато до нас вохра