Это нетрудно доказать, основываясь на теоремах о касательных к коническим сечениям; действительно, если касательная к параболе в точке Р является в то же время касательной к гиперболе с асимптотами у = 0 и х = а, то Р будет серединой отрезка касательной между асимптотами; кроме того, точка 5, место пересечения касательной с осью абсцисс, являющейся, в свою очередь, касательной к вершине параболы, будет серединой расстояния между точкой Р и точкой пересечения касательной с осью ординат. 2 Отсюда следует, что DQ, абсцисса точки Р, равна DZ. Нетрудно убедиться, что, как указывает Архимед, условие возможности Ь2с 4 я3 27 действительно выполняется (в задаче деления шара) в том случае, когда точка В совпадает с Q, а Т лежит между Q и Z. Однако получается только одно решение, ибо точки X хотя и могут упасть по обе стороны от В, но для частной задачи, интересующей Архимеда, годится лишь точка, падающая на DB. Таким образом Архимед сводит свою задачу о делении шара к весьма общему кубическому уравнению; это же уравнение, как было нами указано (стр. 130), лежит в основе доказательства последней теоремы второй книги труда о шаре и цилиндре; Архимед, кроме того, пользуется им в некоторых других вопросах, касающихся нахождения сегментов эллипсоидов и гиперболоидов данного объема. Наоборот, нахождение Аполлонием нормалей представляет собой тип задач, решаемых непосредственно с помощью конических сечений, без обращения к каким бы то ни было уравнениям. Мы ограничимся тем, что приведем здесь решение этой задачи на языке современной алгебраической символики. Пусть О будет какая-нибудь точка, (ХиУи) прямой, служащей нормалью к коническому сечению в точке M (х, y), G — точка пересечения этой нормали с главной осью, N- проекция точки M на ту ось, которую мы примем за ось абсцисс. Чтобы сразу охватить все частные случаи, рассматриваемые Аполлонием, мы напишем, пользуясь теперешними знаками + и —, у _ NG NG — это то, что теперь называют субнормалью, и в случае параболы она равна р. Поэтому найденное нами уравнение можно написать в виде: *У — (Хх — Р)У — УиР = 0.