прямой (проекция которой на плоскости чертежа есть Р) между Р и поверхностью конуса, то У2 = рм. РМг =, k-PNPNb а этим свойством мы охарактеризовали выше эллипс или гиперболу. Планиметрическая теорема, которой здесь пользуется Архимед, предполагается известной; следовательно, ею наверное пользовались и до Архимеда, чтобы вывести свойства конических сечений. Но согласно так называемой теореме о степени, о которой речь у нас будет ниже и которую тоже знал Архимед, эта планиметрическая теорема остается в силе даже тогда, когда точки M, N, М Nx расположены на любом коническом сечении; следовательно, Архимед мог в вышеупомянутом сочинении о поверхностях вращения второго порядка найти абсолютно тем же самым способом плоские сечения этих поверхностей. Утверждая, что открытие Менехма заключалось, по существу, в трактовке параболы, эллипса и гиперболы, как конических сечений, мы должны были в то же время допустить, что эти кривые были изучены-по крайней мере отчасти — уже раньше, в частности в связи с делосской проблемой, и что исходным пунктом для этих исследований были те свойства, которые в настоящее время мы выражаем с помощью их простейших уравнений. Серьезным подтверждением этой гипотезы является то обстоятельство, что у всех греческих авторов в основе их исследований лежат главные планиметрические свойства этих кривых, а не рассмотрение их как конических сечений; гипотеза эта, кроме того, объясняет еще и тот факт, что теория конических сечений могла развиться у греков с той быстротой, с которой, как мы знаем, это произошло вскоре после Менехма. Интерес к этой теории должен был возрасти, когда увидели, что конические сечения можно применить не только к построению двух средних пропорциональных, как у Менехма, но и к решению многочисленных других задач, которые тщетно пытались решить с помощью линейки и циркуля. С этой целью приходилось рассматривать конические сечения как геометрические места, пространственные места, по тогдашнему выражению. Само название древнейшего цитируемого труда о конических сечениях: "Пространственные места", свидетельствует о том значении, какое придавали этому приложению конических сечений. Автором этой утерянной для нас книги был Аристей, несколько старший современник Евклида. Что название ее имело особенное значение и не было просто наименованием общей теории конических сечений, это ясно видно из того, что появившиеся вскоре затем книги Евклида о конических сечениях должны были не заменить, а дополнить "Пространственные места*1 Аристея. Трудом Аристея продолжали пользоваться даже тогда, когда появились "Конические сечения" Аполлония, окончательна вытеснившие книги Евклида на эту тему.