В соответствии с этим построением еще Архимед называл лолупараметр р отрезком до оси, т.е. отрезком от вершины А параболы до ОСИ конуса. Мы видим, таким образом, что Менехм получил, действительно, решение поставленной им себе задачи, — именно представить как коническое сечение кривую, уравнение которой-у2-2рх. Для этого стоило было только взять прямоугольный конус, провести сечение перпендикулярно к какой-нибудь образующей его и устроить так, чтоб отрезок до оси равнялся р. Те же удобства представляют соответствующие построения для эллипса и гиперболы, рассматриваемых как сечения, перпендикулярные к одной из образующих остроугольного или тупоугольного конуса вращения. Мы на этот раз воспользуемся чертежом 18, прибавив к нему только обозначение Аг для точки пересечения АР со второй образующей ТС, расположенной в плоскости чертежа; в случае гиперболы это будет точка пересечения АР с продолжением ТС за Т. Если AP=xt РА1 = х1 и если, кроме того, как и раньше, отрезок до оси, или AL, есть полупараметр р, а ААг = 2а, то легко найти, что r2 = 2AL др рд Р_ в хх А Ах а нию Таким уравнением по отношению к осям в том или ином виде (употреблявшееся ими выражение было ближе всего к уравнедревнейшие греческие геометры и пользовались для изучения эллипса и гиперболы (эллипса, если X + x1 = 2û, гиперболы, если XX — х = 2а). Так как константы уравнения кривой находят простое изображение на чертеже, то здесь имеется хороший и надежный метод для представления этих кривых, как сечений конуса; нетрудно доказать таким образом, что они являются коническими сечениями для всех значений этих констант. Однако наше объяснение предполагает, что эти кривые были известны уже раньше и выражались, разумеется, геометрическим образом с помощью вышеупомянутого уравнения. Это можно, ловидимому, утверждать относительно эл иипса, который могли рассматривать как сечение цилиндра. Что касается гиперболы, именно равносторонней гиперболы, то, как мы указали, ею воспользовались дия построения двух средних пропорциональных, хотя выражали ее другим уравнением, ибо ее относили к асимптотам. Применение ее к построению двух средних пропорциональных являлось отличным поводом для исследована того, не представляет ли эта кривая чего-то уже прежде известного, например окружности, через преобразование с помощью средства геометрической алгебры, первоначального способа определения (détermination) ее. С помощью геометрической алгебры легко получить уравнение, отнесенное к осям, но маловероятно, чтобы была