более древней рукописи, открытой и частично изданной одним комментатором Архимеда — Эвтокием. В нем архимедово уравнение решается с помощью конических сечений. Из него выводят затем условия возможности, применение которых к задаче: "найти шаровой сегмент с данными объемом и поверхностью" непосредственно должно было бы дать теорему 9. Ниже мы приведем само это решение, являющееся одним из лучших дошедших до нас образчиков того, как древние решали так называемые пространственные задачи. Из примеров этого рода, содержащихся в трактате Архимеда, легко видеть, что вычисление шаровой поверхности открывало широкое поприще для ряда новых изысканий. Кроме того, она позволяло делать практические приложения, а также приложения к другим наукам, как, например, к географии. Возможно, что благодаря всем этим обстоятельствам Архимед ценил вычисление шаровой поверхности выше всех других своих открытий; но, по существу дела, достаточно того, что Архимеду удалось вычислить площадь кривой не линейчатой поверхности в эпоху, когда находилось еще в таком зачаточном состоянии вычисление площадей даже плоских фигур и соответствующих объемов. И как немногочисленны даже в наше время поверхности, площади которых можно выразить столь простой формулой! Согласно выраженному Архимедом желанию, на его могиле был поставлен памятник, содержащий шар с описанным вокруг него цилиндром. Через полтора века Цицерон, в бытность его квестором Сицилии, нашел этот памятник и восстановил его*. * В 1906 г. Гейберг нашел новое, до того неизвестное сочинение Архимеда. Содержание его Цейтен излагает в основной статье о математике в древности и средние века, помещенной в известном издании "Die Kultur der Gegenwart". Изложив квадратуру параболы ию Архимеду, Цейтен продолжает: "Но более смелым является следующее, посланное знаменитому александрийскому ученому Эратосфену, сообщение, в котором Архимед рассказывает о приложении своего метода к целому ряду задач, замечая при этом, что он рассматривает этот вывод не как доказательство, а как указание к открытию теорем и их доказательств. Это замечательное сочинение, названное им "Учением о методе" (г ро (5о£), было открыто лишь в 1906 г. Гейбергом. В качестве первого примера Архимед приводит опять-таки параболический сегмент, но на этот раз он не пользуется вовсе доказательством методом исчерпывания, довольствуясь рассмотрением сегмента как "суммы отрезков MN", треугольника ABC как "суммы отрезков MP*'. Точно так же в дальнейшем он рассматривает объем как "сумму площадей", на которые он разделяется рядом параллельных плоскостей, например рассматривает шар как сумму таких круговых площадей. Этим он имеет в виду то же самое, что имеем в виду мы, когда рассматриваем площадь как сумму бесконечно многих бесконечно узких полосок, объем как сумму бесконечно многих бесконечно тонких слоев, с чем мы связываем непосредственно представление Об определенном интеграле. Применяя свой метод, Архимед находит еще в "эфодикане** объем шара и шарового сегмента, центр тяжести полушара или любого шарового сегмента, а также соответствующие результаты для тел, образующихся от вращения конического сечения вокруг оси, для гипербол, однако., только вокруг оси. 22. Архимедова теория равновесия. Правила равновесия равноплечего рычага были известны задолго до эпохи Архимеда,