и применяет их к различным геометрическим вычислениям, результаты которых мы и в настоящее время получили бы тем же самым способом, что и он, с помощью вышеприведенных интегральных формул, с той лишь разницей, что не повторяли бы в каждом отдельном случае доказательства путем исчерпывания. Среди этих теорем первая находится во введении к трактату "О коноидах: и сфероидах", вторая — в добавлении к теореме 10 о спиралях. Эго следующие теоремы: п2' /г Л + 2/г + 3ft+.... + лЛ (n^1)2/z, ft2 + (2ft)2 + (ЗЛ)2 +.... + (лЛ)2 (п + 1)3 ft2. Первая теорема получается непосредственно из суммирования членов арифметической прогрессии, операции, известной, несомненно, уже давно; вторая основывается на данном в теореме 10 суммировании рассматриваемого ряда. Архимед находит, что 3[ft2 + (2ft)2 + (3ft)2+.... +(nhf] = = (л + 1) (rcft)2 + ft (ft + 2ft +ЗЛ +.... + nh)\ ft, 2ft и т. д. изображены отрезками, и если мы примем ft за единицу и обозначим через 5 искомую сумму квадратов, то доказательство Архимеда можно изобразить следующим образом: (п+1)п2 = п2+[(п -1)+1]2 + [(п -2) + 2]2+.... + + [2 + (л 2)]2 + [1 + (л -1)]2 + п2 = = 2$ + 2(л -1) + 4(л -2) + 6(л -3) +... + 2(л -1)-1. Прибавив к этому (л + л_1+/2_2+... +1), получаем: 2s + n + 3(n — 1) + 5(л — 2)+.... + (2л — 1) ■ 1. Но эта сумма равна 35, как это легко видеть, взяв сумму нижеследующих равенств, вытекающих, в свою очередь, из формулы для суммы членов арифметической прогрессии: ла = л + 2(л -1 +л -2+... + 1), (л -1)2 = /z- 1 +2(л — 2+л — 3+:. +1), (п — 2)2 = л — 2 + 2(л — 3+л — 4+.. +1). Следует заметить, что хотя суммирование членов ряда ft2-f-(2ft)2 +.... как будто по внешности нечто второстепенное, но в исследовании Архимеда оно представляет важный алгебраический результат.