этой логической строгости добились, показав существование предельных значений с помощью доказательств, совпадающих, по существу, с доказательством путем исчерпывания. Но только в настоящее время это последнее доказательство дается, как мы уже указали на первом примере приложения его, один раз навсегда или же употребляется при установлении столь общих понятий, как сумма бесконечного ряда или как определенный интеграл, между тем как в древности его повторяли по поводу каждого частного случая. Однако существует довольно серьезное формальное различие между тем, как рассматривали вопросы этого рода древние и как они трактуются теперь, хотя различие это, имеющее своим источником различие исходных пунктов, нисколько не затрагивает логической строгости заключений. Эта разница обнаружилась уже, когда нами рассматривался в общем виде вопрос о непрерывности величин, непрерывности, существование которой для геометрически представляемых величин прямо предполагалось древними, как об этом свидетельствуют четыре первые книги "Начал"; только позже, в пятой книге, вводятся арифметические способы, которыми тоже можно пользоваться для сравнения несоизмеримых величин. В настоящее время, наоборот, начинают с этих арифметических соображений, применяя их лишь впоследствии к носящим более эАмпирический характер непрерывно изменяющимся величинам. В наше время изложение часто начинают с рассмотрения процесса сходящегося арифметического приближения, с помощью которого находят площадь какой-нибудь плоской фигуры (например круга) или какой- нибудь объем (например объем пирамиды) и пользуются им для определения понятия площади или объема. Наоборот, древние полагали, что понятия площади плоской фигуры или объема определены обними аксиомами о величинах, с которыми мы уже познакомились по первой книге "Начал"; таким образом теорема, что площадь круга больше площади всякого вписанного многоугольника и меньше площади всякого описанного многоугольника, была для них непосредственным следствием восьмой аксиомы. Из аксиом первой книги выводили способы приближения, которые служили тогда для нахождения (détermination) площадей или объемов, а теперь служат для определения (définition) соответствующих понятий. Но зато наблюдается полное согласие в том, что в древности, как и в настоящее время, требовали строгого доказательства сходимости применяяемых процессов. Однако, когда дело идет о нахождении длины кривой линии или площади кривой поверхности, недостаточно общих аксиом о величинах. Поэтому в настоящее время считают особенно необходимым определить эти понятия с помощью того же самого процесса приближения, при посредстве которого находят фактически эти величины. Мы увидим, что от Архимеда, во всяком случае, HQ