В теоремах 1 и 3 устанавливаются и доказываются известные правила нахождения наибольшей общей меры; здесь доказывается прямым путем, что получают общую меру, а способом от обратного, что это наибольщая мера. В теореме 4 устанавливается, что если а и b целые числа, а/ — их общая наибольшая мера, то можно всегда написать я = /п/, b = nf и. следовательно, а =^т Ь: если а Ь, то m 1. п п 1. Согласно этому m и п-числа первые между собой; и если теперь, основываясь на этом, мы пытаемся проверить согласно определению 20, что = -, то мы вводим гипотезу, что в этом ь d случае второй множитель с = m, т.е. ~ есть целое число, и знал п чит, что раз произведение /поделится на я, которое взаимно первое с m, то на него должно делиться d. Таким образом это основное предложение теории чисел содержится уже среди гипотез, и с теоретической точки зрения не особенно большое значение представляет тот факт, что Евклид получает в дальнейшем на основе этих гипотез ряд теорем, содержащихся в названном предложении; так, например, в 30 говорится, что если произведение делится на некоторое первое число, то на него должен делиться один из сомножителей этого произведения. Упомянутые гипотезы используются особенно в предложении 20: если — = — и если cad насколько можно малы, то а ь d делится на с и ft делится на d. Это последнее предложение имеет важное значение для доказательства теоремы 30. Как известно, при действительном доказательстве упомянутого основного предложения пользуются тем обстоятельством, что если а и b взаимно простые, то к есть наибольший общий делитель ка и kb (теорема эта, вытекающая из правил нахождения общего наибольшего делителя, не включена Эвклидом в "Начала"). У Евклида недостает доказательства, что описанное в 4 преобразование я в m есть единственно возможное преобразование, при котором тип п взаимно простые. Из сказанного нами ясно, что Евклид не подвел под теорию целых чисел столь глубокое основание, как под геометрию и теорию общих непрерывных величин; но тщательность, с какой он при всем том излагает и устанавливает многочисленный ряд чисто теоретических предложений, с достаточной убедительностью свидетельствует о том, что он отлично понимал необходимость точного обоснования и арифметики и что он практически пользовался операциями, на развитие теории которых он потратил столько сил. Однако его три арифметических книги не имели такого капитального значения для судеб математики, как предшествующие им и часть следующих за ними книг "Начал";