Решения здесь абсолютно те же, что и решения, выведенные нами (см. выше, стр. 43—45) из II, 5 и 6 для случаев, когда недостающие или избыточные фигуры должны быть квадратами, с той, однако, разницей, что прежние квадраты заменены прямоугольниками, подобными заданным прямоугольникам; подобие их ясно обнаруживается в том, что диагональю обоих подобных прямоугольников является одна и та же прямая. Чтобы показать обобщение, вносимое в геометрическую алгебру этими теоремами, мы прибегнем к следующему алгебраическому способу представления задач и перемещений фигур, дающих решение их: d с V 2 d J — с \ 2) угольник в котором мы стремились посредством современной символики знаков -Ни — избегнуть повторения формулировок. Чтобы найти х, надо построить прямоподобный зас \г d ) данному прямоугольнику и равный разности или сумме известных площадей c\2J и В. Для этого (предполагая, что В есть заданная прямолинейная фигура) прибегают к задаче 25, о которой уже упоминалось в связи с пифагорейцами и которая сводится к построению фигуры, равновеликой некоторой заданной прямолинейной фигуре и подобной другой фигуре. Задача 28 требует в качестве диоризма, чтобы В: а: иначе говоря, чтобы заданная фигура была не больше прямоугольника, построенного на половине отрезка а и подобного заданному прямоугольнику cd\ диоризм этот прибавлен к задаче обычным способом, но необходимость его доказывается в предыдущем предложении 27 посредством того же самого перемещения фигуры, каким пользуются в 28. Как мы уже заметили в § И, диоризм этот получился непосредственно из анализа, соответствующего синтетическому изложению 28. Если заменить прямоугольник cd квадратом, то диоризм сводится к утверждению, что квадрат больше прямоугольника, сумма сторон которого равна сумме сторон квадрата (вывод этот вытекает также, как мы уже отметили это, из V, 25). Теорема 30 относится к вопросу о разделении отрезка в среднем и крайнем отношении. Соответствующее построение было указано уже нами (II, 11. см. выше, стр. 47) и опиралось тогда на 11,6; теперь же оно опирается на теорему VI, 29, являющуюся обобще