угла как величины исходят тоже не из евклидова принципа перемещений, а определяют угол, скорее, как часть целого оборота. Но, такое определение содержит в себе гипотезу, что эта часть обладает величиной, притом такого рода, что для нее безразлично, совершают ли целый оборот вокруг некоторой единственной точки или же разлагают его на ряд частичных оборотов вокруг различных точек. Нетрудно убедиться, что это представляет специальную гипотезу, пригодную, как и евклидова аксиома, лишь для плоскости. Достаточно заменить плоскость сферической поверхностью, а прямые — дугами больших кругов, чтобы названная гипотеза перестала быть правильной. 5. Большее, однако, значение, в связи с вопросом об отношении евклидовой аксиомы ко всей его системе, имеет попытка Лежандра, связанная, действительно, с другими гипотезами Евклида. Хотя, опираясь на эти гипотезы, он не может доказать общей теоремы о сумме углов треугольника, но ему удается доказать, что сумма углов не больше двух прямых. Один из способов, которыми он пользуется для получения этого результата, повторяет довольно точно ход рассуждений Евклида при доказательстве теоремы I, 16, где греческий геометр показывает, что внешний угол, смежный с углом С треугольника ABC, больше каждого из двух других углов, например А. Для до В С казательства этого соединяют середину D стороны АС с В и берут затем на про- Фиг«J2должении прямой BD отрезок DAX-BD) в таком случае сумма углов треугольника АгВС равна сумме углов треугольника ABC и угол ВСАг равен сумме углов Л и С первоначального треугольника; отсюда следует, что А + С 2 прямых или что А меньше угла, смежного с С. Лежандр повторяет указанную нами здесь операцию, стараясь каждый раз, чтобы угол при В был наименьшим углом непрерывно преобразуемого треугольника у всякого нового получаемого таким образом треугольника та же сумма углов, и у него имеется один угол, В или А который равен половине наименьшего из предыдущих углов или меньше этой половины. Согласно одному принципу, который Евклид устанавливает потом в связи с методом доказательства путем исчерпывания, можно таким путем получить, наконец, треугольник, в котором один угол меньше любой заданной величины; собственная теорема Евклида показывает, что сумма других углов меньше двух прямых, а тогда нетрудно доказать, — пользуясь, при желании, методом исчерпывания, — что оставшаяся неизменной сумма трех углов не превосходит двух прямых. Так как здесь удалось добиться столь значительных результатов, не пользуясь одиннадцатой аксиомой (пятым постулатом), то возникало желание итти еще дальше в этом направлении. Надо было исходить при этом из доказанного Лежандром факта, что сумма углов треугольника могла либо равняться двум прямым, либо быть меньше двух прямых; в этом последнем случае можно было доказать, что сумма углов треугольника уменьшается вместе с увеличением площади его. Исходным пунктом по вопросу о пересечении прямых линий являлась лишь гипотеза о замкнутых контурах, однако, можно было доказать, что некоторая данная прямая пересекается с прямой, проведенной через данную точку, если эта последняя прямая находится в одной из пар вертикальных углов, образованных двумя определенными прямыми, проходящим» через данную точку. Другие теоремы этой созданной Лобачевским и Больяи (Воиуаи) неэвклидовой геометрии более сходны с теоремами обыкновенной евклидовой геометрии. Мы можем указать еще один вид геометрии, в которой из гипотез Евклида пользуются лишь гипотезами насчет замкнутых контуров и соответствующими этому гипотезами в пространстве; ее называют Analysis situs. В наше время с указанными здесь геометрическими исследованиями о гипотезах геометрии связали ряд проблем о происхождении их, относящихся к теории познания. Это вопросы о том, представляют ли названные гипотезы результат нашего произвола? Или же они покоятся на врожденных идеях? Или же они представляют истины, заимствованные из опыта? В этом последнем случае мы не