Можно ли теперь утверждать, что в явно формулированных Эвклидом гипотезах нет ровно ничего насчет гипотез, которыми он пользуется фактически в цитированных местах "Начал" и, в частности, в теореме 12, — и пользуется при этом, очевидно, вполне сознательно? В постулатах, действительно, нет ничего. Но, как мы уже указывали, различие между постулатами и определениями не настолько резко, чтобы можно было ограничиться анализом только первых. Ясно поэтому, что Евклид может для оправдания пользования этими гипотезами указать на определения, в которых говорится, что круг—это фигура, заключающая в себе центр, откуда следует, что окружность пересечет достаточно продолженную прямую линию в двух точках, если, конечно, ее центр находится по одну сторону этой прямой и если она проходит через точку, расположенную по другой стороне ее, и что она точно так же пересечет другую окружность, если она соединяет какую-нибудь внутреннюю точку с точкой внешней. Заметим, между прочим, что в известных случаях можно таким же образом доказать пересечение прямых линий, не прибегая к пятому постулату и принимая только во внимание, что периметры многоугольников тоже ограничивают площади конечных размеров. Евклид пользуется этим приемом в I, 21. Остается объяснить, как нашло себе место среди постулатов утверждение, что все прямые углы равны. Из аксиом следует, что если углы при наложении совпадают, то они равны, в противном случае они неравны. Утверждение о равенстве всех прямых углов, таким образом, тождественно с утверждением, что все прямые углы при наложении совпадают. Но так как по определению (определение 10) прямой угол — это угол, равный смежному с ним углу, то сущность постулата сводится к утверждению, что угол, образуемый прямой и ее продолжением, имеет определенную величину или же, что продолжение какой-нибудь данной прямой за один из ее концов однозначно определено. Это, именно, и хотел сказать Евклид своим постулатом,— в чем нетрудно убедиться, заметив, что постулат фактически применяется именно таким образом (см. доказательство теоремы 1,14). Таким образом четвертый постулат оказывается лишь дополнением ко второму и утверждает, что содержащееся в этом втором постулате нахождение (Bdetermination) продолжения прямой линии однозначно; именно поэтому он и помещен среди постулатов, а не среди аксиом. Впрочем, современный читатель, привыкший обращать внимание на число решений, не почувствовал бы отсутствия такого постулата, ибо он немедленно подумал бы, что однозначность уже подразумевается вторым постулатом. Но так как, в конце концов, этот четвертый постулат существует, то приходится пожалеть об отсутствии другого постулата, который содержал бы утверждение, что данное в первом постулате нахождение прямой линии тоже однозначно. Евклид открыто пользуется этой однозначностью в теореме 1,4, в которой для своего доказательства он прибегает к