Сведение какой-нибудь задачи к нахождению двух величин, произведение (прямоугольник) и сумму либо разность которых знают, т.е. сведение ее к геометрическому решению уравнений второй степени, является, согласно вышеприведенным теоремам "Data", методом, который можно было применять и который часто применялся греческими математиками. Мы увидим в дальнейшем, что другие теоремы "Data" свидетельствуют о знакомстве с более сложными уравнениями, выражающимися посредством пропорций и геометрической алгебры. 13. Обзор евклидовых "Начал"; синтетическая система* Эвклидовы " —Начала" состоят из тринадцати книг, к которым в большинстве изданий присоединяют, в качестве четырнадцатой книги, одну работу Гипсикла и, в качестве пятнадцатой, один еще более поздний и представляющий меньшее значение труд. Первая книга содержит важнейшие предложения о сторонах и углах треугольников, о построении треугольников, о перпендикулярных и параллельных прямых, о параллелограмах и их площадях, а также о площадях треугольников. Во второй книге содержатся уже изложенные выше принципы геометрической алгебры. В третьей излагаются теория круга, прямых и образуемых ими углов внутри круга, а также теорема о степени точки по отношению к окружности. В четвертой книге говорится о вписанных и описанных многоугольниках, в частности, о построении правильного треугольника, четыреугольника, пятиугольника., шестиугольника и десятиугольника. Нет сомнения, что личный вклад Евклида в этих книгах сводился, главным образом, к расположению и более точному, чем до него, изложению всего этого известного уже его предшественникам материала, согласно с строгими логическими требованиями, выработавшимися к его времени у греческих математиков. Но к этому, несомненно, присоединилась и творческая, в тесном смысле слова, математическая работа. Действительно, пропорции, как мы уже видели, употреблялись в геометрии еще до зарождения точной теории пропорций у Эвдокса. Когда в отдельных случаях приходилось прибегать к теории пропорций, основанной исключительно на теории рациональных величин, то неважно было, найдут ли свое место в системе эти приложения несколько раньше или позже. Но Евклид уже был знаком с теорией Эвдокса о пропорциях, и так как она по своей новизне не могла найти места в начале системы, то он отложил ее до пятой* книги. Поэтому до пятой книги следовало избегать какого бы то ни было, явного или скрытого, употребления пропорций и подобия, и весьма вероятно, например, что именно соображения этого рода заставили Евклида — как мы уже указывали вкратце выше — придумать то доказательство пифагоровой теоремы, которое имеется в конце первой книги "Начал". Чтобы читатель понял, как можно было добиться таких результатов без учения о пропорциях, я напомню, что с помощью геометрической алгебры доказываются теоремы о степени точки