Но здесь мы коснемся еще мимоходом других, открытых в дальнейшем, методов построения двух средних пропорциональных. Были придуманы различные механические инструменты для построения фигуры, содержащей, как фиг. 10, подобные треугольники, с помощью которых прямо получается искомое отношение. Изобретение одного из этих инструментов приписывается Платону, другого — Эратосфену. Но так как ни один из этих приборов не имел никакого влияния на ход развития математики, то мы не будем останавливаться на описании их; заметим только, что, вероятно, под их влиянием Декарт тоже придумал один прибор, который он описывает в своей "Геометрии". Никомед свел построение двух средних пропорциональных к проблеме вставки, но построение, которым он при этом пользуется, далеко не так просто, как те, которые употребляются для трисекции угла. 10. Теоремы и задачи; смысл и значение геометрического построения. Мы рассказали сперва о главных идеях и методах, возникших в V в. и развитых в дальнейшем греческими математиками; приведя некоторые частные исследования, мы дали затем образцы реального содержания тогдашней математики. По мере того как подвигались вперед, стали все более ощущать потребность в неизменных и надежных формах, которые согласовались бы с господствующими идеями и еще более укрепили бы их и которые в то же время были бы достаточно гибки, чтобы вместить новые, непрерывно увеличивавшиеся достижения. Плодом деятельности философской школы Платона и математической школы Эвдокса и происходившей между ними теоретической борьбы была, именно, выработка этих форм. В качестве примера этой работы мы можем привести спор по вопросу о том, в какой мере можно рассматривать математические истины как теоремы, и в какой как проблемы. Платоники высказывались в пользу понимания их, как теорем, опираясь при этом на то, что решение какой-нибудь задачи устанавливает лишь существующую уже предварительно вещь; так, например, равносторонние треугольники существуют независимо от того, строят ли их или нет, потому что идея равностороннего треугольника существует реально еще до всякого построения. Для учеников же Эвдокса, особенно типичным представителем которых был Менехм, суть дела заключалась в выявлении математических истин с помощью построения фигур или, по крайней мере, с помощью исследования их. С внешней стороны, ни одной из спорящих школ не удалось победить другую, ибо в евклидовых "Началах" теоремы и проблемы встречаются бок о бок; но более важно установить сущность различия между теоремами и проблемами. Впоследствии его формулировали приблизительно следущим образом: в теореме утверждается то, что одно только и возможно, в проблеме же ищут то, что может быть и иначе. По этим признакам и следует различать, в какой из обеих этих форм должна быть выражена